¿En qué circunstancias es mejor la integración de Monte Carlo que cuasi-Monte Carlo?

Una pregunta bastante simple: para hacer una integral multidimensional, dado que uno ha decidido que algún tipo de método de Monte Carlo es apropiado, ¿hay alguna ventaja que tenga una integración de MC regular usando números pseudoaleatorios sobre una integración cuasi-Monte Carlo usando una secuencia cuasialeatoria? ? Si es así, ¿cómo reconocería situaciones en las que esta ventaja entraría en juego? (Y si no, ¿por qué alguien usa alguna vez la integración de Monte Carlo?)

Las simulaciones de Monte Carlo son el método de elección para el cálculo de la dispersión de electrones. A veces se usan trucos como el muestreo de importancia, por lo que se podría decir que no es el viejo Monte Carlo. Pero el punto principal es probablemente que aquí se simula un proceso inherentemente estocástico, mientras que solo pregunta sobre el uso de Monte Carlo para la integración.

Como nadie más trató de ofrecer una respuesta, permítame intentar ampliar un poco mi respuesta. Supongamos que tenemos una simulación de dispersión de electrones, donde solo se calcula un solo número, como un coeficiente de retrodispersión. Si reformulamos esto como una integral multidimensional, probablemente sería una integral de dimensión infinita. Por otro lado, durante la simulación de una sola trayectoria, solo se requiere un número finito de números aleatorios (este número puede ser bastante grande, si se tiene en cuenta la generación secundaria de electrones). Si utilizáramos una secuencia cuasialeatoria como el muestreo latino de hipercubos, tendríamos que utilizar una aproximación con un número fijo de dimensiones y generar un número aleatorio para cada dimensión para cada punto de muestra.

Entonces, creo que la diferencia es si se muestrea algún tipo de hipercubo unitario de alta dimensión, frente a una nube de probabilidad de dimensión infinita alrededor del origen.

Parte de mi investigación implica resolver ecuaciones diferenciales parciales estocásticas a gran escala. En ese caso, la aproximación tradicional de Monte Carlo de la integral de interés converge demasiado lentamente para que valga la pena en un sentido práctico ... es decir, no quiero tener que ejecutar 100 veces más simulaciones solo para obtener un punto decimal con mayor precisión a la integral. En cambio, tiendo a usar otros métodos, como las cuadrículas de smolyak dispersas porque ofrecen una mayor precisión en menos evaluaciones de funciones. Esto solo es posible porque puedo asumir un cierto grado de suavidad en la función.

Es razonable conjeturar que si espera que la función que está integrando tenga cierta estructura (como suavidad), sería mejor utilizar el esquema cuasi-monte carlo que lo explota. Si realmente no puede hacer muchas suposiciones sobre la función, entonces monte carlo es la única herramienta que se me ocurre para manejarla.

Las ventajas de la integración tradicional de Monte-Carlo sobre la integración cuasi-Monte Carlo se discuten en el documento de Kocis y Whiten aquí . Enumeran las siguientes razones:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  Desafortunadamente, el límite teórico de discrepancia de las secuencias existentes no es utilizable para valores moderados y grandes de s. La otra opción, una evaluación numérica de la discrepancia en estrellas de una secuencia para s grandes, requiere un esfuerzo computacional excesivo e incluso es muy difícil obtener estimaciones numéricas razonables de tales discrepancias.

  Con la integración tradicional de Monte-Carlo, podemos especificar un objetivo de error y esperar porque el límite de error es fácilmente computable. Con QMC, tenemos que especificar una serie de evaluaciones de funciones y esperamos que el error esté dentro de nuestro objetivo. (Tenga en cuenta que existen técnicas para superar esto, como la asignación aleatoria de cuasi-Monte Carlo, donde se usan múltiples estimaciones cuasi-Montecarlo para estimar el error).

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Para que cuasi-Monte Carlo supere al Montecarlo tradicional, el integrando debe tener una "dimensión efectiva baja". Vea el artículo de Art Owen sobre este tema aquí .