¿Qué norma elegir cuando?

Recientemente, vi esta pregunta: cómo medir el error de un método de diferencia finita

Soy estudiante de ciencias de la simulación y desafortunadamente, para mí, no está del todo claro qué norma usar en qué contexto.

Muy a menudo, usamos la norma euclidiana o la norma L2, pero ¿por qué uno elige normas diferentes, cuál es su significado además de la definición numérica / matemática? O más preciso: ¿Cuál es la razón para usar una norma específica en un contexto específico?

Para medir el error en la solución de PDE, es bastante natural elegir la norma del espacio en el que se encuentra la solución. Por ejemplo, para PDE elípticas, la solución se encuentra en y, por lo tanto, es natural elegir la norma para medir el error. Esto tiene sentido porque, por ejemplo, la solución no se encuentra en el espacio y, por lo tanto, no tiene sentido calcular el error máximo en el gradiente simplemente porque no puede medir este error si ni siquiera La solución exacta tiene puntos donde el gradiente no es finito. En otras palabras, no tiene sentido medir el error en la norma de un espacio (por ejemplo,H 1 W 1 , ∞ X X = W 1 , ∞ Y Y = H 1 X ⊂ $H^1$$H^1$$W^{1,\infty}$$X$$X=W^{1,\infty}$) Si las mentiras exactas de soluciones en (por ejemplo, ) y .$Y$$Y=H^1$$X\subset Y$

Por otro lado, con frecuencia medimos el error en la norma de un espacio si , por ejemplo, cuando medimos el error en . Para estas otras normas, a veces se debe a la importancia física, pero igualmente a menudo es simplemente una cuestión de conveniencia. La norma veces tiene algún significado físico: por ejemplo, la integral del cuadrado del campo eléctrico , es decir, el cuadrado de la norma , es la energía almacenada en el campo eléctrico; asimismo, el cuadrado de la norma de la solución de la ecuación de onda es la energía potencial almacenada en la solución. En otras ocasiones, es solo una norma convenientemente elegida. Por ejemplo midiendo elZ ⊃ Y L 2 L 2 ∫ E ( x ) $Z$$Z\supset Y$$L_2$$L_2$L 2 L 2 L 1 L $\int E(x)^2 \; dx$$L_2$$L_2$La norma del error en la ecuación del calor dependiente del tiempo es casi siempre la elección incorrecta ya que las cantidades físicamente relevantes (la energía térmica total, la cantidad de material) son en realidad la norma de la solución; en este caso, medir el error en la norma no tiene otro significado que ser conveniente.$L_1$$L_2$

La norma euclidiana se usa a menudo basándose en el supuesto de que la distancia euclidiana de dos puntos es una medida razonable de la distancia. Pero a menos que este sea el caso, esta elección no es preferible a una elección adaptada al problema. Por ejemplo, si el tamaño típico de los componentes de un vector es muy diferente (ya que significan cosas muy diferentes), la norma euclidiana es muy pobre, ya que apenas tiene en cuenta los efectos de los cambios en los componentes de tamaño pequeño. En tal caso, uno necesita escalar primero los vectores para que tengan componentes de tamaño similar antes de aplicar normas, o debe usar una norma que escale diferentes componentes de manera diferente.

La normade un vector (y de manera similar para matrices y funciones) es una medida de su tamaño; Esta medida debe adaptarse al significado del problema que está resolviendo. En dimensiones finitas, todas las normas son equivalentes, en el sentido de que describen la misma topología; pero los valores numéricos pueden depender mucho de la norma particular. (Para la topología, lo único de interés es el límite. En finito D esto es independiente de la norma, es decir, en cualquier norma si . Pero qué tan cerca uno es hasta el límite depende mucho de en qué norma lo midas).x ‖ x k - $\|x\|$$x$$\|x_k−x\|\to 0$$\lim x_k=x$

Por lo tanto, uno debe elegir una norma significativa para obtener resultados significativos.

En espacios de dimensiones infinitas (que en particular incluye los espacios de funciones comunes), las normas ya no son equivalentes, y las normas diferentes pueden conducir a topologías diferentes. Ahora uno debe elegir una norma adecuada incluso para obtener resultados finitos, y los términos delimitadores pueden ser imposibles sin una buena elección de la norma.

Como ejercicio, me gustaría sugerirle que compare los valores de la -norm para para una variedad de vectores en parametrizados por , y haga lo mismo en varios espacios de secuencias . Entonces apreciarás las diferencias. Un buen ejemplo es el vector con la entrada , donde . Aquí para la pequeña y la grande (aproxima la suma por una integral) , que se vuelve infinitamente grande como cuandop = 1 , 2 , ∞ R n n x = ( x 1 , x 2 , … ) i x i = ϵ / i s s > 0 ϵ n ‖ x ‖ p ≈ ϵ 1 - 1 / n p s - $p$$p=1,2,\infty$$R^n$$n$$x=(x_1,x_2,\dots)$$i$$x_i=\epsilon/i^s$$s>0$$\epsilon$$n$ n→∞p≤1/sp>1/$\|x\|_p\approx \epsilon\frac{1-1/n^{ps-1}}{ps-1}$$n\to\infty$$p\le 1/s$pero permanece pequeño cuando .$p>1/s$

Algunas observaciones:

En general, la norma que elija depende de lo que quiera medir. Es así de simple.

Para pde numérico, la forma tiene la propiedad conveniente de proporcionar una estructura espacial de Hilbert. Una razón natural para usar esta norma proviene del tratamiento de los errores de medición, como se describe en https://scicomp.stackexchange.com/a/2763/238 . No sé si hay otras razones que van más allá de la viabilidad matemática.$L^2$

El -norma se utiliza cuando se quiere hacer valer un máximo consolidado en el error de "punto a punto". Es natural representar el espacio dual de por funciones con la forma finita .L ∞ L $L^\infty$$L^\infty$$L^1$

Se usan otras normas en PDE no lineal, y las normas de Sobolev son la generalización simple de espacios si desea controlar una función y sus derivadas generalizadas.L $L^p$$L^p$