Papel de las condiciones de contorno (p. Ej., Periódico) en la ecuación de Poisson

Dada la ecuación de Poisson 3D y el lado derecho y el dominio, soy libre de imponer cualquier condición de límite (BC) en la función , ¿o tienen que ser de alguna manera consistentes con el lado derecho? En particular, si impongo BC periódica, ¿habrá exactamente una solución para cualquier lado derecho?

$$\nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z)$$ $\phi$

Por ejemplo, let: y resuelvo en un cuadro . Ahora cualquier solución debe ser una suma de donde: porque , y es cualquier función armónica (es decir, ). ¿Correcto?

$$f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}$$ $(0, 1)\times (0, 1) \times (0, 1)$$\phi_0+\phi_1$ $$\phi_0(x, y, z) = \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}\,,$$ $\nabla^2\phi_0 = f$$\phi_1$$\nabla^2\phi_1 = 0$

Si impongo cero Dirichlet BC, entonces es la única solución, porque satisface el BC, satisface la ecuación y la solución debe ser única. ¿Correcto?$\phi_0$

¿Qué pasa si impongo BC periódica? ¿Significa que habrá alguna función armónica tal que satisfaga el BC periódico y resuelva la ecuación? ¿Qué es esto explícitamente en este caso?$\phi_1$$\phi_0+\phi_1$$\phi_1$

Desde una perspectiva numérica, quizás sea más fácil discutir las discretizaciones directamente.

Para la ecuación de Poisson con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas, existe una solución única para cualquier lado derecho. Una vez discretizada, la ecuación se puede escribir en la forma , donde es la discretización estándar del operador laplaciano 3D con límite de Dirichlet es una discretización estándar de . Como es positivo definitivo, es invertible, y el sistema tendrá una solución única para cualquier , y por lo tanto, cualquier .A b f A b $Ax = b$$A$$b$$f$$A$$b$$f$

Existen, por supuesto, los problemas habituales con el submuestreo; Si dos valores diferentes de dan lugar a la misma discretización debido al uso de una grilla gruesa o debido a discontinuidades en , puede haber cierta ambigüedad sobre qué sistema se está resolviendo realmente. Pero siempre que la discretización de se comporte bien, existirá una solución única y significativa.f $f$$f$$f$

La situación es un poco más complicada en el caso de condiciones de límite periódicas porque la discretización estándar del operador laplaciano 3D con límite periódico es semidefinida positiva y tiene un núcleo unidimensional comprende soluciones de la forma con constante.x ≡ C $K$$x \equiv C$$C$

Debido a que todavía es simétrica en el caso periódico, tenemos que , por lo que no tendrá una solución a menos que , donde es el vector que consiste en todos los 1s. Esto proporciona la condición de consistencia para el lado derecho en forma discreta.Rango A = K ⊥ A x = b 1 ⋅ b = 0 $A$$\operatorname{Range} A = K^\perp$$Ax = b$$\mathbf{1} \cdot b = 0$$\mathbf{1}$

Tenga en cuenta que, analíticamente, hay una forma algo más simple de verlo. Recuerde que, para , donde es nuestro dominio, tenemos Si estipulamos una condición de límite periódica en , entonces el término de límite en el lado derecho desaparece, y nos queda con Entonces, si satisface , se deduce inmediatamente que debemos tener Este es el análogo analítico deΩ ∫ Ω Δ $\phi \in C^2(\Omega)$$\Omega$ϕ ∫ Ω Δ

$$\int_\Omega \Delta \phi \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}}\, dS.$$ $\phi$ϕ Δ ϕ = f ∫ Ω $$\int_\Omega \Delta\phi\, dx = 0.$$ $\phi$$\Delta \phi = f$1 ⋅ b = 0 f $$\int_\Omega f\, dx = 0.$$ $\mathbf{1} \cdot b = 0$, ya que ambos expresan el hecho de que el valor promedio de , y por lo tanto , sobre el dominio debe ser cero.$f$$b$

Sé que han pasado 2 años ... pero aquí hay un ejemplo de la física para martillarlo en casa. Considere que está resolviendo la ecuación de Poisson: para potenciales electrostáticos (ϕ) con el lado derecho: Y, ρ (la densidad de carga) se especifica en toda la cuadrícula puntos.f = ( - ρ / ε o

$$\nabla^2\phi =f$$ $$f=(-ρ/εo)$$

Declaración: Para la solución periódica, la condición ∫ρdv = 0 (descrita por Ben arriba) establece que el sistema sea neutral en la red. Esta es una buena manera (física) de pensar sobre el valor promedio de f sobre el cuadro periódico.

Ahora probemos esta afirmación. Para condiciones de contorno periódicas, la integral del campo eléctrico debe ser cero sobre la superficie de la caja (siempre puede encontrar pares de puntos en la superficie de la caja que se cancelan entre sí en la integral).

Luego, según el teorema de divergencia (ley de Gauss), la caja debe ser neutral y esto es lo que nos propusimos probar.

$$\oint_S {E_n dA = \frac{1}{{\varepsilon _0 }}} Q_{inside} =0$$

Un poco de física aquí, pero creo que proporciona un buen refuerzo para la discusión aquí.

Es necesario tener cuidado específicamente en el método de generación de soluciones fabricadas para la ecuación de Poisson. Dado que la definición del término fuente tiene que satisfacer tanto la forma fuerte de la PDE como la forma débil de la PDE. La derivación dada anteriormente es básicamente usar la forma débil de la PDE. En otras palabras, existe una relación entre el gradiente de la solución en el límite y el término fuente integral en el dominio.