Convergencia asintótica de la solución a un pde parabólico a la solución de un pde elíptico

Supongamos que tengo el sistema parabólico con condiciones de contorno de Dirichlet y condición inicial u = g

$$u_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$$ u ( x , t ) = h $$u=g, \quad x\in\partial\Omega$$ $$u(x,t)= h,\quad t=0.$$

Muchas veces en ingeniería, estamos más interesados ​​en el comportamiento asintótico (estado estacionario) de esta PDE que en el comportamiento transitorio. Entonces, a veces descuidamos el término derivado del tiempo y resolvemos el sistema elíptico lugar. La suposición es que durante un tiempo infinito, .lim t → ∞ u p a r a b o l i c ( x , t ) = u e l l i p t i c ( x , t

$$-\nabla\cdot(k(x)\nabla u)=f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$$ $$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}(x,t)$$

He observado que cuando $f\equiv 0$ , este límite es verdadero, pero no estoy seguro de si este es el caso para f arbitrario $f$o si hay otras condiciones necesarias para garantizar que este límite sea verdadero. ¿Las condiciones de contorno tienen que converger asintóticamente a un valor constante para que la solución parabólica converja a la solución elíptica?

Aunque mi pregunta está formulada en el caso continuo, también tengo curiosidad por saber si las mismas condiciones son verdaderas para el caso discreto. Es decir, suponiendo que use un esquema de diferencia finita estable y consistente para aproximar $u_{\mathrm{parabolic}}$ y $u_{\mathrm{elliptic}}$ , si debo esperar

$$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}(x,t)$$ si $u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}$ y $u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}$ se discretiza en la misma cuadrícula espacial y $\Delta t\rightarrow\infty$ ?

Sí, con las condiciones de contorno de Dirichlet siempre tiene una convergencia exponencial al estado de staedy. Cualquier libro PDE tendrá una prueba. Para una buena explicación desde una perspectiva numérica, vea el capítulo 2 del libro FDM de LeVeque.