Ejemplos de ecuaciones de Helmholtz y Biharmonic con solución exacta

Estoy buscando ejemplos de las ecuaciones de Helmholtz y Biharmonic en coordenadas cartesianas con soluciones exactas, para poder comparar mis soluciones numéricas con ellas.

Pude encontrar bastantes ejemplos en Internet, donde el problema con las condiciones de contorno se definió con precisión. Esos fueron, desafortunadamente, solo ejemplos ilustrativos y no se mostraron soluciones exactas.

Me animaron a fabricar la solución (como en math.stackexchange.com , y lo hice con éxito). Temía en ese caso que algunos ejemplos interesantes que conocen los especialistas en PDE no se tratarían, como algunas soluciones dadas por series infinitas (que truncaría cuando se alcanza un cierto nivel de precisión). Por ejemplo, el que aparece en el artículo de Wikipeda sobre BVP elípticas es interesante.

Se agradece cualquier ejemplo en particular, o un enlace útil a una página web o un documento.

Busque el libro Vibración de platos de Arthur Leissa. Tiene soluciones explícitas para placas cuadradas y circulares. Incluyendo tablas con valor propio aproximado para diferentes condiciones de contorno.

¿Un cuadro rectangular alineado con el eje (largo / ancho / alto = a / b / c) con condiciones de contorno de dirichlet ( ) en las paredes admite una forma cerrada / solución exacta? Tal vez un producto tensor de sinusoides, por ejemplo, ϕ ( x , y , z ) = s i n ( k x x ) s i n ( k y y ) s i n ( k z z ) . Elija k x / k y / k $\phi=0$$\phi(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)$$k_x/k_y/k_z$juiciosamente para darse cuenta de la condición de dirichlet, por ejemplo, , k y = m π / b , k z = p π / c , para algunos enteros (n, m, p). Conecte esa solución al d i $k_x = n\pi/a$$k_y = m\pi/b$$k_z = p\pi/c$ operador, entonces la ecuación resultante, d i $div \, grad$ , debería darle la condición de separación para k x , k y , k z (probablemente k 2 x + k 2 y + k 2 z = k 2 ).$div\,grad \, \phi = k^2 \phi$$k_x,k_y,k_z$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$

Esta es una tarifa estándar para la ecuación de onda vectorial / ecuaciones de maxwell (electromagnetismo), no he jugado mucho con la ecuación escalar de helmholtz, pero espero que funcione de manera muy similar. Para los resonadores electromagnéticos / VWE, recomendaría la "Ingeniería electromagnética avanzada" de Balanis. Probablemente haya una referencia comparable para la ecuación escalar de Helmholtz (¿un texto acústico de posgrado, tal vez?), Pero no sabría qué es.

No tengo experiencia con la ecuación biharmónica.