El espacio de multiplicadores de Lagrange es demasiado rico en una vista matemática

Antecedentes:

El método multiplicador de Lagrange se ha empleado en numerosos campos, como problemas de contacto, interfaces de materiales, transformación de fase, restricciones rígidas o deslizamiento a lo largo de las interfaces.
Es bien sabido que una mala elección o diseño del espacio multiplicador de Lagrange producirá resultados oscilatorios (problema inestable) en los multiplicadores de Lagrange. Una gran cantidad de literatura ha ilustrado esta observación y se han realizado algunas modificaciones o mejoras para eliminar las oscilaciones que generalmente se producen por la desviación de la condición de inf-sup.

Pregunta:

Al leer literatura sobre XFEM, me encontré con el siguiente argumento resaltado en rojo, que es bastante matemático. ¿Cómo interpretar o comprender que el espacio es localmente demasiado rico y luego, como resultado, la condición inf-sup viola? Gracias por cualquier aporte.

La matriz de puntos de silla de montar que debe resolver adopta la siguiente forma: donde A es la matriz sin restricciones y B es la matriz que observa los valores de la solución en los nodos a lo largo de la interfaz sumergida.

$$\begin{bmatrix} A & B^T \\ B \end{bmatrix},$$ $A$$B$

El acondicionamiento de la matriz de punto de silla es, en parte, controlada por el valor singular mínimo de . Cuanto más pequeño es el valor singular mínimo de B , peor es el condicionamiento. Para más detalles, recomiendo el siguiente documento:$B$$B$

Krendl, Wolfgang, Valeria Simoncini y Walter Zulehner. "Estimaciones de estabilidad y propiedades espectrales estructurales de problemas de punto de silla". Numerische Mathematik 124.1 (2013): 183-213. https://arxiv.org/pdf/1202.3330.pdf

$B$

$B$

$$B = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ & 1/2 & 1/2 \\ & & 1/2 & 1/2 \\ &&& \ddots& \ddots \end{bmatrix}$$

$B$

$$\underbrace{\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & -1 &\dots\end{bmatrix}}_{\text{large norm}} ~B = \underbrace{\begin{bmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0 & \dots\end{bmatrix}}_{\text{small norm}}$$

$B$

Cada multiplicador de Lagrange corresponde a una restricción. Entonces, si el espacio de los multiplicadores de Lagrange es demasiado grande, entonces tienes demasiadas restricciones que ya no pueden satisfacerse al mismo tiempo sin restringir significativamente la cantidad de incógnitas que tienes disponibles para satisfacer la física del problema. Esto es lo que sucede al bloquear: cada restricción reduce el número de incógnitas en una, y terminas con muy pocas incógnitas para ser físicamente preciso.