Papel del flujo numérico en DG-FEM

Estoy aprendiendo la teoría detrás de los métodos DG-FEM usando el libro Hesthaven / Warburton y estoy un poco confundido sobre el papel del 'flujo numérico'. Pido disculpas si esta es una pregunta básica, pero he buscado y no he encontrado una respuesta satisfactoria.

Considere la ecuación de onda escalar lineal: donde el flujo lineal se da como .f(u)=a

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$$ $f(u) = au$

Como se introdujo en el libro de Hesthaven, para cada elemento , terminamos con ecuaciones, una para cada función básica, haciendo cumplir que el residuo se desvanezca débilmente:$k$$N$

$$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$$

$$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$$

Multa. Entonces, pasamos por la integración por partes una vez para llegar a la 'forma débil' (1) e integramos por partes dos veces para obtener la 'forma fuerte' (2). Adoptaré el tipo de exageración de Hesthaven, pero de forma integral de superficie fácilmente generalizada en 1D:

(1)

$$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$$

(2)

$$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$$

¿Por qué elegimos un flujo numérico? ¿Por qué no usamos el valor de en el límite en (1) en lugar de usar un flujo? Sí, es cierto que el valor de esta cantidad puede definirse de forma múltiple entre los elementos, pero cada ecuación solo es superior a 1 elemento , entonces, ¿por qué es importante?$au_h^k$$D^k$

Además, el término límite de la segunda integración por partes claramente produce una cantidad diferente la segunda vez en (2), lo que no tiene sentido para mí. ¡Estamos haciendo la misma operación! ¿Por qué los dos términos límite simplemente no se cancelarían, haciendo inútil (2)? ¿Cómo hemos introducido nueva información?$au_h^k$

Claramente, me falta algo crucial para el método, y me gustaría solucionarlo. He hecho un análisis real y funcional, por lo que si hay una respuesta más basada en la teoría con respecto a la formulación, ¡me gustaría saber!

El flujo numérico se elige para garantizar que la información en el problema viaje en la dirección de las curvas características de la ecuación (hacia arriba). Como se menciona en los comentarios, el flujo numérico es necesario para acoplar los subproblemas definidos en cada elemento.

Una forma de hacerse una idea del papel del flujo numérico es considerar el siguiente ejemplo simple.

Considere la ecuación de advección escalar (donde por simplicidad $a=1$ )

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$$ $\Omega = [0,1]$$x = 0$$x = 1$$u(0,t) = g_D$$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$$D_2 = [1/2,1]$

$$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$$

$D_1$$D_2$

$D_1$$v(0,t) = g_D$$D_2$$w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$$D_k$

$$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$$ $v$$w$$D_1$$D_2$$v(0,t)$$g_D$$w(1/2,t)$$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$$x = 0$$u_h^* = v(1/2,t)$$x=1/2$

Mirando las cosas de esta manera, podemos considerar que las funciones de flujo numérico imponen débilmente las condiciones de frontera en cada elemento que se requieren para acoplar las ecuaciones de tal manera que se respete la estructura característica de las ecuaciones.

Para ecuaciones más complicadas que la advección de coeficiente constante, la información puede no propagarse siempre en la misma dirección, por lo que el flujo numérico debe determinarse resolviendo (o aproximando la solución) un problema de Riemann en la interfaz. Esto se discute para problemas lineales en la Sección 2.4 del libro de Hesthaven.

Hablando en términos generales, hay dos cosas que la mayoría de las técnicas de discretización necesitan para converger en la solución real de su PDE a medida que aumenta su calidad de aproximación, independientemente de si está utilizando DG o no:

1. $u$
2. Estabilidad (pequeños cambios en los datos resultan en pequeños cambios en la respuesta)

Los primeros pasos de una derivación de DG donde se integra por partes en cada elemento de malla conserva (1) porque está comenzando con el PDE y solo aplica operaciones legales desde allí.

Sin embargo, esto no te da (2). Puede ver esto usted mismo tratando de ensamblar la matriz de una forma débil de DG parcialmente formulada y observando sus valores propios; para problemas dependientes del tiempo, los queremos a todos en el semiplano izquierdo, pero sin un flujo numérico adecuado estarán en todas partes. Esto lleva a una solución que explota exponencialmente en el tiempo, incluso si el problema físico no lo hace.

$u$

El truco consiste en tomar combinaciones de saltos y promedios y combinarlos de manera que su esquema aún sea consistente pero también estable. Después de eso, generalmente se revela un teorema de convergencia.

Esto es lo básico, pero a menudo también puede incorporar física adicional al flujo numérico para que no solo satisfaga estos requisitos matemáticos, sino que también juegue muy bien con los principios de conservación.

Cuando elige la función de prueba igual a la función de prueba en el método DG, está creando un problema de optimización. Es decir, tiene un método Galerkin en lugar de un método Petrov-Galerkin. Está buscando las derivadas de tiempo de las amplitudes de la función de prueba que minimizarán el elemento residual en la norma L2, y realiza esta minimización suponiendo una función de flujo dada en el flujo de entrada.