¿Qué nos dice el análisis de estabilidad de Von Neumann sobre las ecuaciones de diferencias finitas no lineales?

Estoy leyendo un artículo [1] donde resuelven la siguiente ecuación no lineal utilizando métodos de diferencia finita. También analizan la estabilidad de los esquemas utilizando el análisis de estabilidad de Von Neumann. Sin embargo, como los autores se dan cuenta, esto solo es aplicable a PDE lineales. Por lo tanto, los autores trabajan en torno a esto "congelando" el término no lineal, es decir, reemplazan el término u u x con U u x , donde se considera que U representa valores locales constantes de

Entonces mi pregunta es doble:

1: ¿cómo interpretar este método y por qué (no) funciona?

2: ¿podríamos también reemplazar el término con el término u U x , donde U x "se considera que representa valores locales constantes de u x "?$uu_x$$uU_x$$U_x$$u_x$

Referencias

1. Eilbeck, JC y GR McGuire. "Estudio numérico de la ecuación de onda larga regularizada I: métodos numéricos". Journal of Computational Physics 19.1 (1975): 43-57.

Lo que estás diciendo se conoce como linealización. Es una técnica común utilizada en el análisis de PDE no lineales. Lo que se hace es lanzar ecuaciones en el formato,

$u_t+Au=0$

Aquí A es una matriz resultante de la linealización de la ecuación.

Ahora a sus preguntas,

1. Como está pensando, funciona hasta cierto punto, pero no lo hace en otra medida. La utilidad es que la estabilidad se puede probar para sistemas lineales pero no fácilmente para sistemas no lineales. Entonces los resultados lineales se extienden a los sistemas no lineales. A menudo, se adoptan diferentes métodos para casos particulares. Por ejemplo,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

cual es la forma de conservación. Entonces,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

cuando se representa en un sentido de volumen finito da límites a la evolución de u.

2. ¿Cuál es la utilidad de hacer el reemplazo? Eliminará la ecuación de una forma de ecuación de onda. Lo que significaría que las soluciones no se comportarían como una ecuación de onda. Entonces, en el análisis de estabilidad, las soluciones de prueba también tendrían que ser completamente diferentes y no físicas.

Para elaborar el argumento de linealización, en uu_x desea asumir que u es localmente constante, no u_x, por dos razones: a) u varía más lentamente que su derivada, y b) en este caso particular, si supone que u_x es localmente constante , por definición, también asume que u es localmente lineal, lo que significa que las derivadas espaciales más altas son cero, y esto no solo introduce un error de aproximación adicional, sino que puede implicar que puede tirar al bebé con el agua del baño, según su ecuación.