Elección de la base en FEM

Brevemente, ¿cuáles son los diferentes tipos de base utilizados en FEM y por qué la base nodal es tan popular y ventajosa en el contexto de elementos finitos?

La gente usa todo tipo de bases en la práctica. Por ejemplo, las personas usan bases ortonormales en los métodos de DG para garantizar que la matriz de masa en los esquemas de pasos temporales sea diagonal. Las personas también usan bases jerárquicas cuando hacen adaptabilidad porque hace que la construcción de restricciones en caras donde diferentes grados polinómicos se unan sea trivial. Para los métodos de orden superior, las personas también usan otras construcciones para minimizar el número de condición de la matriz.$p$

En otras palabras, hay una amplia variedad de bases que están en uso real. Simplemente comenzamos a enseñar el FEM con bases nodales porque es muy fácil de entender y porque son suficientes para la mayoría de los casos.

Las bases nodales de Lagrange son agradables porque interpolan las funciones en los nudos: Esto significa que puede leer y graficar soluciones mirando solo los coeficientes u j en la representación: u h ( x ) = Σ j u j φ j ( x ) que es mucho mejor que tener que evaluar la suma en cada punto que se preocupan por saber u h .

$$\phi_i(x_j) = \delta_{ij}$$ $u_j$ $$u_h(x) = \sum_j u_j\phi_j(x)$$ $u_h$

$\mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{f}$

$$\delta \mathbf{u}^T \mathbf{K} \mathbf{u} = \delta \mathbf{u}^T \mathbf{f}$$ $\mathbf{K} \mathbf{u}$$\mathbf{f}$$\mathbf{u}$$\mathbf{f}$

Los primeros desarrollos de FEM fueron impulsados ​​principalmente por aplicaciones de ingeniería, y la intuición de las fuerzas puntuales aplicadas en los nodos fue muy importante para la difusión del método.

Hay una variedad de bases diferentes en FEM, pero la mayoría involucra funciones básicas que están asociadas con entidades topológicas, como vértices, aristas, caras e interiores de elementos. Esto hace posible imponer varios tipos de continuidad al garantizar que los grados de libertad para tales funciones coincidan en vértices / aristas / caras compartidas.

Estas funciones básicas también se pueden definir de forma jerárquica (definir funciones 1D, combinarlas en funciones 2D, combinar funciones 2D en 3D, etc.). Las bases definidas de esta manera pueden usarse para exponer la escasez o garantizar otras propiedades matemáticas, aunque su construcción es más complicada.

Las bases nodales son una forma más simple de definir tales funciones, siempre que se coloque un número apropiado de nodos en los vértices, bordes, caras e interior de un elemento. La continuidad se puede forzar asegurando que dos valores nodales sean idénticos en vértices / aristas / caras compartidas. Además, si dichos nodos se ubican conjuntamente en los puntos de la cuadratura, esto puede explotarse para un ensamblaje eficiente de la matriz de masa y el paso del tiempo en elementos cuadriláteros y hexaédricos (esto es la raíz del Método del Elemento Espectral ).

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