En FEM, ¿por qué la matriz de rigidez es positiva definida?

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En las clases de FEM, generalmente se da por sentado que la matriz de rigidez es positiva definida, pero no puedo entender por qué. ¿Alguien podría dar alguna explicación?

Por ejemplo, podemos considerar el problema de Poisson: cuya matriz de rigidez es: que es simétrico y positivo definido. La simetría es una propiedad obvia, pero la definición positiva no es tan explícita para mí.

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness usuario123
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En realidad, esto depende de la ecuación diferencial parcial que está tratando de resolver. ¿Puedes agregar el que te interesa?

Christian Clason

Hola, @ChristianClason, gracias por tu comentario. He agregado un ejemplo concreto de este problema.

user123

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Advertencia: sin condiciones de contorno, la matriz de rigidez del sistema completo, como se ensambla a partir de matrices de elementos, no tiene rango completo, ya que tiene que mapear el equivalente de movimientos de cuerpo rígido a fuerzas cero. Por lo tanto, la matriz de rigidez completa puede ser, en el mejor de los casos, semidefinida positiva. Sin embargo, con condiciones de contorno adecuadas, los movimientos del cuerpo rígido se deshabilitan y el sistema restringido es entonces no singular. (De lo contrario, uno no podría resolverlo). Por lo tanto, para encontrar la definición positiva real, debe observar la matriz condensada resultante de la aplicación de condiciones de contorno.

ccorn

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La propiedad se deriva de la propiedad de la ecuación diferencial parcial correspondiente (forma débil de la); Esta es una de las ventajas de los métodos de elementos finitos en comparación con, por ejemplo, los métodos de diferencias finitas.

Para ver eso, primero recuerde que el método de elementos finitos comienza desde la forma débil de la ecuación de Poisson (supongo que aquí las condiciones de contorno de Dirichlet): Encuentre tal que La propiedad importante aquí es que (Esto se desprende de la desigualdad de Poincaré). $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Ahora, el enfoque clásico de elementos finitos es reemplazar el espacio de dimensiones infinitas por un subespacio de dimensiones finitas y encontrar tal que La propiedad importante aquí es que está utilizando la misma y un subespacio (un conformando discretización); eso significa que todavía tiene $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Ahora para el último paso: para transformar la forma variacional en un sistema de ecuaciones lineales, elija una base de , escriba e inserte , en . La matriz de rigidez tiene las entradas (que coincide con lo que escribió). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Ahora tome un vector arbitrario y establezca . Luego tenemos por y la bilinealidad de (es decir, puede mover escalares y sumas en ambos argumentos) Como era arbitrario, esto implica que es positivo definido. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: La matriz de rigidez es positiva definida porque proviene de una discretización conforme de una ecuación diferencial parcial elíptica (autoadjunta) .

Christian Clason
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Si la rigidez del elemento no es positiva, entonces el sistema no es estable. Por lo tanto, lo más probable es que el modelo no sea correcto. Observe la ecuación más básica del oscilador armónico.

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

La solución es inestable si es negativa (observe las raíces de la ecuación característica). Significa que la solución explotará. La rigidez tiene que ser una fuerza restauradora. Al menos para una primavera física. La matriz de rigidez extiende esto a un gran número de elementos (matriz de rigidez global). Eso es todo. Pero es la misma idea básica. La base FEM está en el método de matriz de rigidez para el análisis estructural en el que cada elemento tiene una rigidez asociada. $k$

Nasser
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En FEM, ¿por qué la matriz de rigidez es positiva definida?

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