Modelos de canales cuánticos

El llamado canal de despolarización es el modelo de canal que se usa principalmente al construir códigos de corrección de errores cuánticos. La acción de dicho canal sobre un estado cuántico es$\rho$

$\rho\rightarrow(1-p_x-p_y-p_z)\rho+p_xX\rho X+p_yY\rho Y+p_zZ\rho Z$

Me preguntaba qué otros modelos de canales se consideran en las comunicaciones cuánticas, y cómo se afecta la construcción de códigos de corrección de errores al considerar estos otros canales.

Primero déjenme mencionar un punto menor relacionado con la terminología. El tipo de canal que sugiere a menudo se denomina canal Pauli ; el término canal de despolarización generalmente se refiere al caso donde .$p_x = p_y = p_z$

De todos modos, no es realmente correcto decir que los canales de Pauli son el modelo de canal considerado para la corrección de errores cuánticos. Los códigos estándar de corrección de errores cuánticos pueden proteger contra errores arbitrarios (representados por cualquier canal cuántico que pueda elegir) siempre que los errores no afecten a demasiados qubits.

Como ejemplo, consideremos un error arbitrario de un solo qubit, representado por un canal mapeando un qubit a un qubit. Tal canal se puede expresar en forma de Kraus como Φ ( ρ ) = A 1 ρ A † 1 + ⋯ + A m ρ A † m para algunas opciones de operadores de Kraus A 1 , ... , A m . (Para un canal qubit, siempre podemos tomar m = 4 si lo deseamos). Por ejemplo, puede elegir estos operadores para que Φ ( $\Phi$

$$\Phi(\rho) = A_1 \rho A_1^{\dagger} + \cdots + A_m \rho A_m^{\dagger}$$ $A_1,\ldots,A_m$$m = 4$para cada estado de qubit ρ , puede hacer que el error sea unitario, o cualquier otra cosa que elija. La elección incluso puede ser contradictoria, seleccionada después de saber cómo funciona el código.$\Phi(\rho) = |0\rangle \langle 0|$$\rho$

Cada uno de los operadores Kraus puede expresarse como una combinación lineal de operadores Pauli, porque los operadores Pauli forman una base para el espacio de 2 por 2 matrices complejas: A k = a k I + b k X + c k Y + d k Z . Si ahora expande la representación de Kraus de Φ arriba, obtendrá una expresión desordenada donde Φ ( ρ ) parece una combinación lineal de operadores de la forma P i ρ P j donde$A_k$

$$A_k = a_k I + b_k X + c_k Y + d_k Z.$$ $\Phi$$\Phi(\rho)$$P_i \rho P_j$ y P 1 = I , P 2 = X , P 3 = Y , y P 4 = Z .$i,j\in\{1,2,3,4\}$$P_1 = I$$P_2 = X$$P_3 = Y$$P_4 = Z$

$X$$Y$$Z$

$\Phi$

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_j \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_j\:\text{syndrome}|.$$ $|\psi\rangle$$P_i$$P_j$$P_i$$P_j$

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_i \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_i\:\text{syndrome}|.$$

Todo esto se describe (algo brevemente) en la Sección 10.2 de Nielsen y Chuang.