Propósito de usar Fidelity en Benchmarking Aleatorio

A menudo, al comparar dos matrices de densidad, $\rho$ y $\sigma$ (como cuando $\rho$ es una implementación experimental de un ideal $\sigma$ ), la cercanía de estos dos estados viene dada por la fidelidad del estado cuántico

$$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$$ con la infidelidad define como$1-F$.

Del mismo modo, al comparar qué tan cerca está una implementación de una puerta con una versión ideal, la fidelidad se convierte en

$$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$$ donde$d\psi$ es lamedida de Haarsobre estados puros. Como era de esperar, esto puede ser relativamente desagradable para trabajar.

Ahora, definamos una matriz $M = \rho - \sigma$ en el caso de matrices de densidad, o $M = U - \tilde U$ cuando trabaje con puertas. Entonces, las normas de Schatten ¹ , como $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$,$\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$u otras normas, como lanormadeldiamante,se pueden calcular.

Estas normas son a menudo más fáciles de calcular ² que la fidelidad anterior. Lo que empeora las cosas es que, en los cálculos aleatorios de evaluación comparativa , la infidelidad ni siquiera parece ser una gran medida , pero es el número que se usa cada vez que he visto al mirar valores de evaluación comparativa para procesadores cuánticos. ³

Entonces, ¿por qué la (in) fidelidad es el valor de referencia para calcular los errores de compuerta en los procesadores cuánticos (usando benchmarking aleatorio), cuando no parece tener un significado útil y otros métodos, como las normas de Schatten, son más fáciles de calcular en una computadora clásica?

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^{1 La norma p de Schatten de es ‖ M ‖ p p = t r ( $M$$\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 es decir, conecte un modelo de ruido en una computadora (clásica) y simule}

^{3 Como el QMX5 de IBM}

Nielsen y Chuang en su libro "Computación cuántica e información cuántica" tienen una sección (Capítulo 9) sobre medidas de distancia para información cuántica.

Sorprendentemente, dicen en la Sección 9.3 "¿Qué tan bien un canal cuántico preserva la información?" que al comparar la fidelidad con la norma de rastreo:

Usando las propiedades de la distancia de rastreo establecida en la última sección, no es difícil, en su mayor parte, dar un desarrollo paralelo basado en la distancia de rastreo. Sin embargo, resulta que la fidelidad es una herramienta más fácil de calcular, y por eso nos restringimos a consideraciones basadas en la fidelidad.

Me imagino que esto es en parte por qué se usa la fidelidad. Parece que es bastante útil como medida estática de distancia.

También parece haber extensiones relativamente directas de fidelidad a conjuntos de estados

$$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$$

la probabilidad de preparar el sistema en los estados ρ j , y E el canal de interés ruidoso particular, 0 ≤ F ≤ 1 .$p_j$$\rho_j$$\mathcal{E}$$0\leq F\leq 1$

También hay una extensión para la fidelidad del enredo, para medir qué tan bien un canal preserva el enredo. Dado un estado supone que está enredado en el mundo externo de alguna manera, y una purificación del estado (sistema ficticio R ), tal que R Q es puro. El estado se somete a la dinámica en el canal E . Los números primos indican el estado después de la aplicación de la operación cuántica.$Q$$R$$RQ$$\mathcal{E}$ es la aplicación identidad en el sistemaR.$\mathcal{I}_R$$R$

$$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$$

Hay algunas fórmulas derivadas para simplificar los cálculos de fidelidad y fidelidad de enredos que también se dan en el capítulo.

Una de las propiedades atractivas de la fidelidad de entrelazamiento es que existe una fórmula muy simple que permite que se calcule exactamente.

$$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$$

donde los 'elementos de operación' satisfacer una relación exhaustividad. Tal vez alguien más pueda comentar sobre implementaciones más prácticas, pero esto es lo que he recopilado de la lectura.$E_i$

Actualización 1: Re M.Stern

Es la misma referencia que Nielsen y Chuang. Comentan sobre eso diciendo: "Puede preguntarse por qué la fidelidad que aparece en el lado derecho de la definición es cuadrada. Hay dos respuestas a esta pregunta, una simple y una compleja. La respuesta simple es que incluir este término cuadrado hace la fidelidad del conjunto se relaciona más naturalmente con la fidelidad del enredo, como se define a continuación. La respuesta más compleja es que la información cuántica se encuentra actualmente en un estado de infancia y no está del todo claro cuáles son las definiciones "correctas" para nociones como la información Sin embargo, como veremos en el Capítulo 12, la fidelidad promedio del conjunto y la fidelidad entrelazada dan lugar a una rica teoría de la información cuántica, lo que nos lleva a creer que estas medidas están en el camino correcto,

Para responder a su segunda pregunta sobre por qué no mirar la fidelidad de $\bar{\rho}$ , hay un buen punto mencionado en "medidas distinguibilidad entre conjuntos de estados cuánticos" que creo que es en PhysRevA pero hay una versión arXiv aquí .

El punto que mencionan en la página 4 es suponer que tiene dos conjuntos y σ que tienen la misma matriz de densidad promedio de conjunto, ˉ ρ = ˉ $rho$$\sigma$$\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ , entonces la fidelidad no puede Distinguir entre ellos.$F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Actualización 2: Re Mithrandir24601 Entonces, una definición de fidelidad de puerta está motivada al pensar cuál es el peor comportamiento de un canal , para un estado de entrada dado.$\mathcal{E}$

$$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

Debido a la concavidad en ambos argumentos, puede restringir a estados puros en esta minimización, la equivalencia en la segunda parte es solo notación.

Al definir qué tan bien se implementa una puerta, también se puede observar la peor implementación de una puerta unitaria por un canal E definiendo$U$$\mathcal{E}$

$$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

En la fórmula que ha proporcionado y el documento que ha vinculado, se integran sobre , con una medida adecuada ∗ . Esto me hace pensar que esto debería considerarse como una fidelidad promedio ˉ F ( U , ˜ $\psi$$^*$ , que puedes imaginar que podría ser más útil en experimentos prácticos, especialmente si estás repitiendo el experimento. Probablemente sea poco probable lograr el mínimo exacto.$\bar{F}(U,\tilde{U})$

Hay una versión arXiv de un artículo aquí de Michael Nielsen donde habla sobre la fidelidad promedio de la puerta.

La única diferencia adicional entre la fidelidad de una puerta y la fidelidad promedio de una puerta mencionada frente a la fórmula que proporcionó inicialmente es el cuadrado de la traza: que tiene. Como en la Actualización 1, algunas personas prefieren usar F 2 como fidelidad en lugar de $[\operatorname{trace}]^2$$F^2$$F$ , ya que supuestamente se puede conectar más fácilmente para enredar la fidelidad. Necesito leer un poco más sobre eso para comentar correctamente.

( )Aparte: creo que llamarlo una 'medida de Haar' podría ser engañoso, también lo he visto en los periódicos. Hasta donde yo sé, el espacio de los estados puros suele ser topológicamente C P n , para unespacio n- dimensional hilbert. Aparentemente, la medida que usan se hereda de la medida de cabello en U ( n ) por un cociente o eso he leído aquí:/physics//a/98869/41998.$\,^*$$\Bbb{CP}^n$$n$$U(n)$