Literatura: Ver Chang (1988) para la parte teórica y Achdou et al. (2015) por parte numérica respectivamente.
Modelo
Considere el siguiente problema de crecimiento óptimo estocástico en notación per cápita. todo es estándar excepto dz, que es el incremento de un proceso estándar de Wiener, es decir, z (t) \ sim \ mathcal {N} (0, t) . La tasa de crecimiento de la población tiene media n y varianza \ sigma ^ 2 .
Solucion analitica
Suponemos que la tecnología Cobb-Douglas
y la utilidad CRRA
La condición de primer orden (FOC) lee
Reemplace FOC en HJB-e
Suponemos una forma funcional de con ( Posch (2009, eq. 41) )
donde es algo constante. La derivada de de primer y segundo orden viene dada por v v ′ ( k )
El HJB-e luego lee
La HJB-e maximizada es verdadera si las siguientes condiciones se mantienen
Vuelva a sustituir en que finalmente da la función de valor verdadero v v ( k
- ¿Cómo es que no depende de ?
Entonces la función de valor determinista y estocástico debe ser la misma. Luego, la función de política viene dada por (use FOC y derivada de la función de valor)
Tenga en cuenta que esta función tampoco depende de .
Aproximación numérica
Resolví el HJB-e mediante un esquema a favor del viento. Tolerancia de error . En la figura siguiente, trazo la función de política para variar . Para llego a la verdadera solución (púrpura). Pero para la función de política aproximada se desvía de la verdadera. Cuál no debería ser el caso, ya que no depende de , ¿verdad? σ σ → 0 σ > 0 π ( kσ
- ¿Alguien puede confirmar que las funciones de política aproximadas deberían ser las mismas para cualquier , ya que la verdadera es independiente de ?σ
Respuestas:
Más de un comentario:
Debe haber un operador de expectativa en la declaración del problema, de lo contrario, el problema no tiene sentido.
Que "... la función de valor determinista y estocástico debe ser la misma ..." no está del todo bien. El valor de es crucial en la restricciónσ2
Si , entonces presumiblemente para y económicamente razonables , en cuyo caso el problema determinista puede estar mal planteado. Lo que es cierto es que la función de valor estocástico toma la forma dada solo si la restricción del parámetro se cumple.σ2= 0 ρ < 0 α γ
Factorizando el término Ito desde el lado derecho12σ2
la restricción se puede escribir como
En el lado derecho, tenemos una elasticidad del término de sustitución intertemporal y un término de aversión al riesgo . Lo que dice la restricción es que, con una elección particular de , se compensan entre sí, hasta la preferencia de tiempo y la deriva . Por lo tanto, la función de valor es independiente de .- ( 1 - α γ ) 2 σ ρ n ( 1 - α γ(1−αγ) −(1−αγ)2 σ ρ σn(1−αγ) σ
Que la función de valor sea independiente de es un artefacto de la restricción y la elección de CRRA . No es cierto en general.uσ u
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