En Barro (2009) Desastres raros, precios de activos y costos de bienestar Barro desarrolla un modelo de árbol de Lucas con preferencias de Epstein-Zin.
Mi pregunta se refiere a la ecuación del artículo (10). En esta ecuación, Barro afirma que, bajo la solución óptima, la utilidad es proporcional al consumo rased a la potencia de , donde es el coeficiente de aversión al riesgo relativo, es decir
Si bien entiendo la lógica de este resultado, no entiendo cómo deriva la constante , que se muestra en la nota 7 del documento mencionado:
Alberto Giovannini y Philippe Weil (1989, apéndice) muestran que, con la función de utilidad en la ecuación (9), la utilidad obtenida, , es proporcional a la riqueza elevada a la potencia . La forma en la ecuación (10) sigue porque se elige óptimamente como una relación constante a la riqueza en el caso iid. La fórmula para es, si ,
Barro cita el artículo NBER de 1989 de Giovannini y Weil. En este artículo puedo derivar la constante. Sin embargo, se ve completamente diferente a la versión de Barro, porque termino con una expresión que incluye , donde R t es el rendimiento del capital. Creo que Barro ha reemplazado E [ R 1 - γ t ] con la solución de equilibrio de R t . Sin embargo, su expresión no incluye ningún registro o expresión exp.
Estaría agradecido por una solución o cualquier pista sobre la solución.
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Respuestas:
Creo que Barro quiere decir en la nota al pie que Giovanni y Weil encuentran la misma ecuación, , pero usando la ruta óptima de C t . En el artículo de Barro, el enfoque es diferente dado que la dinámica de C t es exógena: C t = Y t por suposición.Ut=ΦC1−γ Ct Ct Ct=Yt
Barro usa el caso límite cuando la duración de un período se acerca a 0. Quizás lo que pueda molestar al lector es que el modelo se define como discreto.
Reescribe el modelo
Primero, podemos reescribir el modelo con una longitud de período y luego usar δ → 0 . La dinámica del PIB escribe log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ con u t + δ ∼ N ( 0 , δ σ 2 ) y v t + δ =δ δ→0
1) Encuentre en función de E t [ ( C t + δΦ Et[(Ct+δCt)1−γ]
A partir de ahora, suponga que hay una tal que U t = Φ C 1 - γ (tenga en cuenta que Φ depende de δ a priori). Definir H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - θΦ Ut=ΦC1−γ Φ δ , la utilidad satisface
H( U t )= C 1 - θ t + 1H(U)=[(1−γ)U]1−θ1−γ
SustituimosUt:
H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +1
3) Take the approximationδ→0
The last step consists in taking a first-order approximation (I abusively keep the equal symbol):
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