Modelo de desastres raros de Barro (2009) en el AER: ¿Cómo derivar la ecuación (10)?

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En Barro (2009) Desastres raros, precios de activos y costos de bienestar Barro desarrolla un modelo de árbol de Lucas con preferencias de Epstein-Zin.

Mi pregunta se refiere a la ecuación del artículo (10). En esta ecuación, Barro afirma que, bajo la solución óptima, la utilidad Ut es proporcional al consumo Ct rased a la potencia de 1-γ , donde γ es el coeficiente de aversión al riesgo relativo, es decir

Ut=ΦCt1γ

Si bien entiendo la lógica de este resultado, no entiendo cómo deriva la constante Φ , que se muestra en la nota 7 del documento mencionado:

Alberto Giovannini y Philippe Weil (1989, apéndice) muestran que, con la función de utilidad en la ecuación (9), la utilidad obtenida, Ut , es proporcional a la riqueza elevada a la potencia 1γ . La forma en la ecuación (10) sigue porque Ct se elige óptimamente como una relación constante a la riqueza en el caso iid. La fórmula para Φ es, si γ1 θ1 ,

Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

Barro cita el artículo NBER de 1989 de Giovannini y Weil. En este artículo puedo derivar la constante. Sin embargo, se ve completamente diferente a la versión de Barro, porque termino con una expresión que incluye , donde R t es el rendimiento del capital. Creo que Barro ha reemplazado E [ R 1 - γ t ] con la solución de equilibrio de R t . Sin embargo, su expresión no incluye ningún registro o expresión exp.E[Rt1γ]RtE[Rt1γ]Rt

Estaría agradecido por una solución o cualquier pista sobre la solución.

drcms02
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¡Esto se ve genial! Gracias por tu esfuerzo. Me llevará un par de días revisar las partes 2 y 3 de su respuesta, pero parece muy intuitivo.
drcms02

Respuestas:

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Creo que Barro quiere decir en la nota al pie que Giovanni y Weil encuentran la misma ecuación, , pero usando la ruta óptima de C t . En el artículo de Barro, el enfoque es diferente dado que la dinámica de C t es exógena: C t = Y t por suposición.Ut=ΦC1γCtCtCt=Yt

Barro usa el caso límite cuando la duración de un período se acerca a 0. Quizás lo que pueda molestar al lector es que el modelo se define como discreto.

Reescribe el modelo

Primero, podemos reescribir el modelo con una longitud de período y luego usar δ 0 . La dinámica del PIB escribe log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ con u t + δN ( 0 , δ σ 2 ) y v t + δ =δδ0

log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δN(0,δσ2)vt+δ=0 con probabilidad y log ( 1 - b ) con probabilidad p δ . La utilidad satisface U t = 11pδlog(1b)pδ
Ut=11γ{Ct1θ+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1) Encuentre en función de E t [ ( C t + δΦEt[(Ct+δCt)1γ]

A partir de ahora, suponga que hay una tal que U t = Φ C 1 - γ (tenga en cuenta que Φ depende de δ a priori). Definir H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - θΦUt=ΦC1γΦδ , la utilidad satisface H( U t )= C 1 - θ t + 1H(U)=[(1γ)U]1θ1γ SustituimosUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +1

H(Ut)=Ct1θ+11+ρδH(EtUt+δ).
Ut Por lo tanto, obtenemos paraCt0, 1
H(Φ)Ct1θ=Ct1θ+11+ρδH(Φ)(Et[Ct+δ1γ])1θ1γ.
Ct0
1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

Et[(Ct+δCt)1γ]

(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ).
Taking the expectation and using the independence between ut+1 and vt+1, it follows
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ).
The expectation of exp(X) where X follows N(0,σ2) is exp(σ2/2). exp((1γ)vt+δ) is a random variable equal to 1 with probability 1pδ and (1b)1γ with probability pδ. We substitute the expectation operator:
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)2σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ).
Finally, we use Ct=Yt to compute an equation for Φ:
1H(Φ)=111+ρδ{exp((1θ)gδ).exp((1γ)(1θ)σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ)1θ1γ}.

3) Take the approximation δ0

The last step consists in taking a first-order approximation (I abusively keep the equal symbol):

1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ).
Pursuing the first-order apprixmation (all the δi with i>1 can be neglected), we have
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
Substitute g using g=g+σ22pEb,
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
We take δ=1 and invert function H to find the solution in the footnote 7 of the paper. The right-hand side of this equation "simplifies" to the within braces in the formula.
GuiWil
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