Sea el conjunto de posibles estados del mundo, o posibles preferencias que una persona podría tener. Deje el conjunto de "apuestas" o "loterías", es decir el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre . Entonces cada persona tendría un orden preferido de los estados en , así como un orden preferido de las loterías en . El teorema de von Neumann-Morgenstern establece que, suponiendo que su preferencia ordenando sobre obedezca a ciertos axiomas de racionalidad, sus preferencias pueden representarse mediante una función de utilidad u: A → ℝ . (Esta función es única hasta la multiplicación de escalares y la adición de constantes). Eso significa que para dos loterías L_1L 1y en , se prefieren a si y sólo si el valor esperado de bajo es mayor que el valor esperado de bajo . En otras palabras, maximiza el valor esperado de la función de utilidad.
Ahora, el hecho de que maximice el valor esperado de su función de utilidad no significa que maximice el valor esperado de cosas reales como el dinero. Después de todo, las personas a menudo son reacias al riesgo; dicen "un pájaro en la mano vale dos en el monte". La aversión al riesgo significa que valoras una apuesta menos del valor esperado del dinero que ganarás. Si expresamos esta noción en términos de la función de utilidad von Neumann-Morgenstern, obtenemos el siguiente resultado a través de la desigualdad de Jensen: una persona es reacia al riesgo si y solo si su función de utilidad es una función cóncava de su dinero, es decir, hasta qué punto su aversión al riesgo es igual a la medida en que tiene una utilidad marginal decreciente del dinero. (Consulte la página 13 de este PDF ).
Mi pregunta es, ¿en qué dirección corre la causalidad? ¿Los valores de la función de utilidad von Neumann-Morgenstern reflejan la intensidad de sus preferencias y es una aversión al riesgo debido al descuento de las preferencias de los seres futuros que están acomodados en comparación con las preferencias de versiones futuras de usted que son más pobres y, por lo tanto, valoran dinero más (como sugiere Brad Delong aquí )? ¿O la causalidad es inversa: su tolerancia al riesgo determina la forma de su función de utilidad, de modo que la función de utilidad von Neumann-Morgenstern no le dice nada sobre la intensidad relativa de sus preferencias?
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La función de utilidad es una representación de preferencias, que tradicionalmente se infieren de las elecciones. Las preferencias vienen antes de la utilidad. No llamaría a la conexión entre utilidad y preferencias causalidad, solo una relación matemática.
La aversión al riesgo (preferencia de riesgo) no está relacionada con el descuento, que mide la preferencia temporal. No tiene sentido decir que la aversión al riesgo se debe a descontar las preferencias de los seres futuros.
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La propiedad Utilidad esperada no es una propiedad que depende de la forma funcional de la función de utilidad. Su existencia depende de satisfacer ciertos "axiomas" (que se describirían con mayor precisión como "condiciones"), que tienen que ver con las preferencias / comportamiento de los seres humanos. Se les puede dar una expresión matemática estricta (que es buena), pero tienen que ver con las preferencias, es decir, antes de que se especifique cualquier forma funcional para la función de utilidad. Veamos qué significa eso. En un comentario, el OP escribió
Lo hace.
Citando de Jehle y Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , cap. 2 p. 108
En su ejemplo, justo antes de la cita, muestran que
donde es una probabilidad que refleja las preferencias que estamos modelando. Citar de nuevo (p. 107)α
Y(1−α)/α es una probabilidad (no "odds ratio").
Así que aquí está: una función de utilidad vNM está asociada con las probabilidades que pueden caracterizar las preferencias de una persona.
APÉNDICE
Después de un interesante pero prolongado intercambio de opiniones y pensamientos en los comentarios con el OP, decidí mejorar esta respuesta con un ejemplo, para mostrar que en el contexto de la teoría específica de preferencias que estamos discutiendo, "intensidad de preferencia "(como se discute informalmente aquí) no se puede disociar de la" actitud hacia el riesgo ", están inextricablemente vinculados.
Suponga que un individuo declara (como tiene todo el derecho): "Mis preferencias son monótonas y prefiero más a menos. Además, los próximos cinco euros me darán exactamente la misma utilidad que los cinco siguientes". Tenga en cuenta que esta es la persona que habla: no podemos preguntarle si la utilidad puede ser cardinal o no, etc. Comenzando desde cero por conveniencia, simbolizamos su declaración como
En el contexto de la discusión con el OP, esta es una declaración sobre "intensidad de preferencia".
A continuación, presentamos a este individuo la siguiente opción: puede obtener euros o puede participar en una apuesta donde obtendrá euros con probabilidad o euros con probabilidad . El individuo declara que prefiere estrictamente obtener los euros con certeza. Esta es una declaración que revela "actitud hacia el riesgo".G 0 15 G 0 1/2 10 1/2 5
Pregunta: ¿Pueden las preferencias de este individuo, como se describe en sus dos declaraciones, ser representada por una función de utilidad que posee la Propiedad de utilidad esperada?
Respuesta: No.
Prueba: en su segunda declaración, el individuo reveló que el Equivalente de certeza de la apuesta es estrictamente inferior a euros:CEG 5
Por eso tenemos eso
Ahora, para que se mantenga la propiedad Utilidad esperada, debe ser el caso que
Debido a (que expresa la "actitud hacia el riesgo" del individuo) tenemos que(2)
Pero esto contradice(1) , que expresa la "intensidad de preferencia" del individuo.
Por lo tanto, concluimos que un individuo cuyas preferencias se describen en las declaraciones anteriores no puede ser representado por una función de utilidad que posea la Propiedad de utilidad esperada.
En otras palabras, para que la propiedad Utilidad esperada se mantenga, la "actitud hacia el riesgo" no puede disociarse de la "intensidad de preferencia". Si el individuo hubiera declarado que era indiferente entre los euros determinados y la apuesta , entonces sus preferencias podrían estar representadas por una función de utilidad que tenía la propiedad de la UE. Pero para lograr eso, tuvimos que "alinear" la "actitud hacia el riesgo" con la "intensidad de preferencia".g5 G
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