Pregunta
Mi solución es la siguiente. Por favor revisa mi solución. Si me equivoco, por favor dígalo. Realmente no estoy seguro de mi solución. Gracias
U (x) es homogéneo de grado uno, es decir, u (tx) = tu (x)
En primer lugar, muestro que la función de utilidad indirecta es homogénea de grado uno en m.
Por la maximización de la utilidad,
V (p, m) = max u (x) sujeto a px m
tv (p, m) = max tu (x) sujeto a px m
Como u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) sujeto a px m
Entonces v (p, tm) = tv (p, m)
Esa es la función de utilidad indirecta es homogénea de primer grado.
Demuestro que la función de gasto es homogénea de grado uno en u utilizando el resultado anterior.
Yo sé eso
v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)
Como u (x) es homogéneo de grado uno y v (p, m) es homogéneo de grado uno en m, v (p, e (p, u)) tiene que ser homogéneo de grado uno en e (p, u) .
En otras palabras, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) contiene iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))
es decir, la costosa función e (p, u) es homogénea de grado uno en u.
Ahora demostraré que la demanda marshalliana x (p, m) es homogénea de grado uno en m.
Por la identidad de Roy,
Por el primer resultado, dado que v (p, m) es homogéneo de grado uno en m, entonces x (p, m) es homogéneo de grado uno en m.
ahora demostremos que la demanda hicksiana es homogénea de grado uno en u.
Yo sé eso
x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)
x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))
Como e (p, u) es homogéneo de grado uno en la segunda parte,
x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) debe mantenerse ya que existe la igualdad (1).
Esa es la demanda hicksiana es homogénea de grado uno en ti.
Respuestas:
La forma en que muestra que es homogénea de grado uno en es correcta, pero la razón por la cual esto implica que, es homogénea de grado uno en , no es muy precisa en su argumento . Por ejemplo, la dualidad nos dice donde es solo un nivel de utilidad objetivo, pero no debería ser como en su prueba.v ( p , m ) metro e ( p , u ) tu
Aquí hay una forma posible de proceder: dado que es homogéneo de grado uno en , se puede escribir como La aplicación de la igualdad da que implica claramente que es homogénea de grado uno en . Puede usar un argumento similar para demostrar la homogeneidad de la demanda de Hicks.v ( p , m ) metro
Con todo lo dicho, le sugiero que pruebe la declaración original directamente usando las definiciones de la función de gasto y la demanda Hicksiana. Por ejemplo,
fuente