¿Pueden un Rey y un Caballero forzar un punto muerto contra un Rey solitario?

Creo que un Rey y dos Caballeros pueden forzar el estancamiento contra un Rey solitario (aunque obviamente no es un jaque mate) ... pero ¿qué pasa con un Rey y un Caballero contra un Rey solitario?

Primero pensé que forzar el estancamiento sería imposible. Así que establecí una posición aleatoria con King + Knight vs King donde el Rey solitario estaba al borde del tablero, e intenté analizarlo.

El resultado: ¡las blancas pueden forzar un punto muerto! El truco es el movimiento 3. Kd2 !!

Esto no prueba que un Rey y un Caballero siempre puedan forzar el estancamiento contra un Rey solitario, pero al menos muestra que no es completamente inconcebible que Rey + Caballero pueda forzar el estancamiento.

Obviamente no quiero una respuesta de "sí / no" sin ninguna evidencia que lo respalde. Me gustaría una prueba irrefutable o al menos alguna evidencia muy sólida.

Una idea es construir una base de mesa de final de juego que tenga en cuenta el estancamiento como una victoria, lo que equivale a decir que las blancas ganan cuando capturan al Rey de las Negras. Solo tendría que haber 64x63x62 = 249984 posiciones.

Una segunda idea sería obtener un motor básico y modificar su código para que tenga en cuenta el estancamiento como una victoria, y probablemente también pueda tirar la mayor parte del código del motor para que se calcule más rápido. Luego haz que calcule Rey + Caballero vs Rey en algunas posiciones donde el Rey solitario comienza en el borde del tablero (pero no demasiado cerca de una esquina). Pero esta idea sería menos convincente que la base de tabla.

Una búsqueda exhaustiva en la computadora muestra que, como se esperaba, K + N no puede en general forzar el estancamiento contra un K.

De hecho, el Rey defensor puede evitar el estancamiento siempre que no esté en uno de los vecindarios triangulares de seis cuadrados de las esquinas que se muestran en el siguiente diagrama

incluso en el borde largo de cada triángulo (los doce Reyes Blancos en el diagrama) el estancamiento solo se puede forzar en algunas posiciones especiales. A saber, Kb2 para mover puede ser estancado por la fuerza solo desde esta posición

y su reflejo sobre la diagonal a1-h8; y Ka3 para moverse está estancado solo si se enfrenta a un Kc3 y un Caballero en uno de los cuadrados b2, c5, b6 que controlan a4 (el primero de estos surge al comienzo del estancamiento en 9 mostrado por Petrosian ).

También se deduce que cada una de estas cuatro posiciones es mutua Zugzwang: el defensor queda estancado por la fuerza solo si está en movimiento. Hay pocos Zugzwangs suficientes (simetrías integrales) para enumerarlos a todos. Una es la posición perdedora única de longitud máxima:

Se obtienen dos más moviendo a los Kings de b1 / d1 a a1 / c1 o a2 / c2. Finalmente, Ka2 contra Kc2 y Nb1 (b5) son los Zugwangs mutuos más cortos.

Como sugirió Glorfindel , algunas de estas posiciones son relevantes para el final de Troitzky KNN / KP. Por ejemplo, este es un Zugzwang mutuo (en el sentido habitual de ganar BTM y empatar WTM), al igual que cada una de las tres posiciones BTM en la línea principal 1 ... Kg7 2 Kg5 Kg8 3 Kg6 Kf8 4 Kf6:

La cuestión de si el rey y el caballero contra el rey solo pueden forzar el estancamiento es bastante teórica. En la práctica, siempre es un empate ya que el rey y el caballero no pueden aparearse con el rey solo.

El estancamiento no puede ser forzado. Solo se puede lograr cuando el rey solo está en una de las esquinas, por lo que solo el rey debe ayudar: