KBN vs K jaque mate en tableros no estándar

Sé cómo ganar el juego final con el obispo y el caballero, pero es un proceso resbaladizo y parece ser apenas una victoria, con el rey enemigo casi escapando. Por esta razón, tengo curiosidad sobre el final del juego en otros tamaños de tablero y si aún será posible en el caso general de un tablero MxN. Por ejemplo:

• ¿Hay una victoria forzada en un tablero de 10x10?
• ¿Hay una victoria forzada en un tablero de 7x7, con un alfil del color 'equivocado'? (es decir, un obispo que no puede atacar los cuadrados de las esquinas)

Supongamos que la regla de 50 movimientos no se aplica.

En realidad, el obispo y el compañero de caballero no son tan resbaladizos como parece. He comprobado esto en un programa de base de tabla que escribí. En un tablero de 10x10, el lado con el alfil y el caballero (digamos blanco) puede forzar el mate en un máximo de 47 movimientos. Las blancas incluso pueden forzar el mate en un tablero de 16x16, en un máximo de 93 movimientos. Creo que mate puede ser forzado en una tabla de tamaño par arbitrariamente grande.

Primero, en un tablero de tamaño extraño, he confirmado que el blanco no puede forzar el mate si el alfil está en el color incorrecto. El mate solo se puede forzar en un buen rincón (uno que el obispo controla), por lo que si no hay buenos rincones, el mate no se puede forzar.

En el tablero de 10x10, el siguiente es un compañero óptimo en 47. La posición inicial es W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2. 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Ae7 Kf4 9.Ke6 Kg4 10.Ke5 Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13. Kf4 Kg2 14.Nd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Nf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Bf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Bj2 Kg1 21.Ng4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Nf2 Kd2 24.Bf6 Ke3 25.Bg7 Kd2 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc5 Ke1 37.Bd4 Kd1 38. Bc3 Kc1 39.Nf5 Kd1 40.Ne3 Kc1 41.Kc4 Kb1 42.Kb3 Kc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 + Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3 #

Después de 23. Cf2, tenemos una posición como la que se muestra en la respuesta de Andrew (pero al revés: W: Kg3, Bj2, Nf2; B: Ke2). Si hacemos este tablero 8x8 eliminando las columnas ayb (y las filas 9 y 10), sería mate en 14, pero aquí es mate en 25. En la línea óptima de arriba, el rey negro nunca intenta realmente escapar hacia La esquina a10. Digamos que sí, con 23. ... Kd2 24. Bf6 Kc2 . Este movimiento acorta al compañero en un movimiento, con la continuación 25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka6 31.Kc6 .

El rey negro solo puede escapar hasta a6, y finalmente está atrapado en la esquina buena a1. El resto de esta continuación es 31. ... Ka5 32.Cd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41. Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Cd3 + Ka2 45.Cc1 + Ka1 46.Bc3 #

Aquí está el número de movimientos para forzar el mate en cada tabla de tamaño par de 4 a 16. 4:15; 6: 22; 8:33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. Tenga en cuenta que en un tablero de cualquier tamaño hay un puñado de posiciones que se dibujan porque el negro puede ganar una pieza de inmediato.

El siguiente es un compañero óptimo en 92 en una placa de 16x16. La posición inicial es nuevamente W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2.1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf9 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13. Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Bg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 Ke14 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.Kd13 Ke16 25.Ke14 Kd16 26.Nd7 Kc16 27.Ne9 Kb15 28.Kd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Kd16 Ka15 33.Kc15 Ka16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37.Nd13 Ka14 38. Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Nd11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63. Kc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Kc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Nd7 Ka7 70.Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Kc7 Ka6 73.Kc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Kd5 Kb3 78.Kd4 Kc2 79.Bb4 Kb3 80.Kc5 Ka2 81.Kc4 Kb1 82.Kc3 Kc1 83.Nd6 Kd1 84.Kd3 Kc1 85.Cc4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Kc3 Ka2 89.Kc2 Ka1 90.Kb3 Kb1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3 #

Es largo, pero jugarlo definitivamente me ayudó a convencerme de que las blancas podrían forzar el mate en un tablero arbitrariamente grande. En la primera fase, el rey blanco y el obispo pueden acorralar al rey negro mientras compran tempos para que el caballero blanco los alcance. Una vez que el rey negro queda atrapado en el rincón malo (a16 en este caso), se arrastra por la lima con muy poco espacio para respirar. Aunque el procedimiento es significativamente más complicado que una maniobra W, el blanco parece estar siempre en completo control.

Comencemos con la pregunta 7x7:

¿Hay una victoria forzada en un tablero de 7x7, con un alfil del color 'equivocado'?

Esta parece ser la más fácil de las dos preguntas para responder. Primero, convéncete de que este es el único patrón de apareamiento (el rey negro también podría estar en el cuadrado oscuro inmediatamente a su izquierda):

El punto clave es que no es posible para el blanco forzar esta posición. El rey negro habría quedado estancado en el movimiento anterior. Alternativamente, si el rey negro se mueve un cuadro a la izquierda, el único movimiento legal que las blancas podrían haber jugado sería mover al alfil a esa diagonal, entregando mate. Si este fuera el caso, ¿dónde estaba el rey negro antes de eso? Habría estado en f2 (dos a la izquierda, uno arriba). Por lo tanto, las negras no se vieron obligadas a moverse hacia la esquina y, en cambio, pudieron haber evitado al compañero. Para concluir, no hay forma de forzar al compañero en la esquina incorrecta, acortar el tablero no cambia este hecho.

Ahora la primera pregunta:

¿Hay una victoria forzada en un tablero de 10x10?

En este caso, el blanco tendrá una esquina adecuada, pero supongamos que el blanco puede forzar al rey negro a la esquina incorrecta. En el tablero estándar de 8x8, el blanco tiene que liberar al rey desde un lado para realizar algunos movimientos en el proceso de conducir al rey a la esquina de apareamiento (ver wikipedia para un tutorial completo). Aquí está la posición normal cuando el negro huye del borde (temporalmente):

Las negras generalmente juegan ...Kc6y luego Bd3!el rey no tiene escapatoria. Sin embargo, en un tablero de 10x10, el negro podría jugar ...Kb7seguido de ...Ka7y finalmente ...Kz6(llamemos al primer archivo a la izquierda "z"). Las blancas no tienen forma de atrapar al rey y al caballero para ayudar a evitar que el rey negro escape de la atadura. Entonces, nuevamente, ¡es bueno que el tablero tenga solo 8x8, de lo contrario, el obispo y el caballero nunca llegarían a aparearse con el rey!

_{Descargo de responsabilidad: no he probado ninguna de mis afirmaciones con bases de tablas}

Obviamente, hay muchas victorias forzadas en cualquier tablero donde M y N son al menos 8 (incluyendo M o N o ambos infinitos) siempre que haya una esquina del mismo color que el cuadrado del alfil.

Si todas las piezas están en el tablero secundario teñido de amarillo y el rey negro no puede escapar del triángulo d10-j4-j10, la posición también se gana en el tablero completo, porque tales posiciones se pueden ganar (de manera óptima) en ese tablero secundario. abordar sin dejar que el rey negro escape del triángulo. Del mismo modo para el tablero verde. Lo mismo se aplica en una placa MxN.

Pero las posiciones ganadas de ninguna manera están restringidas a tales posiciones. En la posición mostrada, por ejemplo, las blancas pueden aparearse en un máximo de 33 movimientos contra cualquier defensa negra. Hay, por supuesto, un porcentaje significativo de posiciones similares.

No hay necesariamente ganancias forzadas si M y N son demasiado pequeños. Por ejemplo, no hay puestos de jaque mate en un tablero 1xN.

Hablando estrictamente, también hay un número relativamente pequeño de victorias forzadas en tableros (lo suficientemente grandes, es decir, M, N> 2, M + N> 6) que no incluyen ninguna esquina del mismo color que la casilla del obispo, pero sí incluyen una esquina del color opuesto Esto incluye el tablero de 7x7 con esquinas de color "incorrectas" sobre las que pregunta. Esto también es posible en una esquina "incorrecta" de cualquier tablero que incluya dicha esquina. Por ejemplo, en un tablero de 8x8:

1.Cg6 + Kg8 2.Ad5 #

No hay victorias en un tablero que no incluye esquinas, es decir, donde uno o ambos lados se extienden indefinidamente en ambas direcciones.

Hay posiciones dibujadas en cualquier tamaño de tablero (este es el caso general en tableros que no tienen esquinas del mismo color que el cuadrado del alfil y en tableros donde uno o ambos de M y N son demasiado pequeños y, creo, en tableros donde M y N son grandes), un ejemplo en una placa de 8x8:

1 ... Kf3 etc.

Las posiciones sorteadas son la excepción en el tablero estándar (menos del 10% de todas las posiciones según el EGTB de Nalimov).

Pero creo que en un tablero de 10x10 también hay sorteos por repetición, donde el rey solitario no puede forzar la captura de una pieza, pero el lado con las piezas tampoco puede forzar el mate. Creo que este se convierte en el caso general para M y N grandes, ya que obviamente es para M y N impares con el alfil de color "incorrecto".

Mientras el tablero contenga una esquina del mismo color que el cuadrado del alfil y M o N permanezca en 8 o menos (pero no es demasiado pequeño), el mate seguirá siendo forzado en general para valores finitos grandes del otro y (algo irrelevante) en tantas posiciones como no para un valor infinito del otro.

Editar:

Después de leer la publicación de DanStronger, creo que mis comentarios sobre los sorteos por repetición en tableros más grandes son erróneos. Estos se basaron en un análisis de 45 años que realicé cuando aprendí a tocar el final (cuyos detalles ahora son confusos), pero me inclino a pensar que el análisis fue defectuoso. En ese caso, el porcentaje de sorteos debería disminuir a medida que aumentan los tamaños de los tableros.

Creo que la mayor distinción que podemos hacer aquí es cuántos movimientos se necesitarán para emparejar al rey. Hay muchas pruebas anteriores que demuestran que es posible aparearse en un tablero que aumenta casi infinitamente (suponiendo que permanezca en un cuadrado no rectangular (para eso no tengo idea)) En un torneo hay una regla de 50 movimientos para evitar innecesariamente largos juegos. Es posible aparearse con este escenario en un tablero de 8x8 dentro de los límites de 50 movimientos pero con poco margen de error. Cuanto más grande sea el tablero, más espacio necesitas para acorralar al Rey en la esquina, lo que resulta en más de 90 compañeros de movimiento.

Para resumir, siempre que el tablero sea cuadrado (Largo = Ancho), se puede lograr un KBN vs K mate. ¡No puedo responder si el tablero es rectangular, alguien más puede responder eso si lo desea o usted puede editar su pregunta!