¿Existen fórmulas bien conocidas para las estadísticas de orden de ciertas distribuciones aleatorias? Particularmente las estadísticas de primer y último orden de una variable aleatoria normal, pero también se agradecería una respuesta más general.
Editar: para aclarar, estoy buscando fórmulas aproximadas que puedan evaluarse más o menos explícitamente, no la expresión integral exacta.
Por ejemplo, he visto las siguientes dos aproximaciones para la estadística de primer orden (es decir, el mínimo) de un rv normal:
y
El primero de ellos, para , da aproximadamente que parece un límite suelto.e 1 : 200 ≥ μ - 10 σ
El segundo da mientras que un Monte Carlo rápido da , por lo que no es una mala aproximación pero tampoco es excelente, y Más importante aún, no tengo ninguna intuición sobre de dónde viene.e 1 : 200 ≈ μ - 2.75 σ
¿Alguna ayuda?
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Respuestas:
La referencia clásica es Royston (1982) [1] que tiene algoritmos que van más allá de las fórmulas explícitas. También cita una fórmula bien conocida de Blom (1958): con . Esta fórmula da un multiplicador de -2.73 para .α=0.375n=200,r=1E(r:n)≈μ+Φ−1(r−αn−2α+1)σ α=0.375 n=200,r=1
[1]: Algoritmo AS 177: Estadísticas de orden normal esperadas (exactas y aproximadas) JP Royston. Revista de la Real Sociedad Estadística. Serie C (Estadística Aplicada) Vol. 31, núm. 2 (1982), págs. 161-165
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Hay formas de hacer esta elección, por lo que tenemos:( N1) ( N- 1i - 1)
EDITAR en mi publicación original, hice un intento muy pobre de ir más allá de este punto, y los comentarios a continuación reflejan esto. He tratado de rectificar esto a continuación
Si tomamos el valor medio de este pdf obtenemos:
Y en esta integral, hacemos el siguiente cambio de la variable (tomando la pista de @ henry), y la integral se convierte en:pagsyo= FX( xyo)
Entonces, este es el valor esperado del CDF inverso, que puede aproximarse bien utilizando el método delta para dar:
Para hacer una mejor aproximación, podemos expandirnos al segundo orden (primo que denota la diferenciación), y observando que la segunda derivada de un inverso es:
Deje que . Entonces tenemos:νyo= F- 1X[ inorte+ 1]
=νi-(i
Ahora, especializándonos en el caso normal, tenemos FX(x)=Φ(x-μ
Tenga en cuenta que Y la expectativa se convierte aproximadamente:FX( νyo) = 1σϕ [ Φ- 1( inorte+ 1) ]
Y finalmente:
Aunque, como ha señalado @whuber, esto no será exacto en las colas. De hecho, creo que puede ser peor, debido a la asimetría de una beta con diferentes parámetros
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La respuesta de Aniko se basa en la conocida fórmula de Blom que implica una elección de . Resulta que esta fórmula es en sí misma una mera aproximación de una respuesta exacta debido a G. Elfving (1947), La distribución asintótica del rango en muestras de una población normal , Biometrika, vol. 34, págs. 111-119. La fórmula de Elfving está dirigida al mínimo y al máximo de la muestra, para la cual la elección correcta de alfa es . La fórmula de Blom resulta cuando aproximamos por .π / 8 π 3α=3/8 π/8 π 3
Al usar la fórmula de Elfving en lugar de la aproximación de Blom, obtenemos un multiplicador de -2.744165. Este número está más cerca de la respuesta exacta de Erik P. (-2.746) y de la aproximación de Monte Carlo (-2.75) que la aproximación de Blom (-2.73), aunque es más fácil de implementar que la fórmula exacta.
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Dependiendo de lo que quiera hacer, esta respuesta puede o no ayudar: obtuve la siguiente fórmula exacta del paquete de estadísticas de Maple .
Por sí solo, esto no es muy útil (y probablemente podría derivarse con bastante facilidad a mano, ya que es el mínimo de variables aleatorias), pero permite una aproximación rápida y muy precisa para valores dados de , mucho más preciso que Monte Carlo:nn n
da -2.746042447 y -2.746042447451154492412344, respectivamente.
(Divulgación completa: mantengo este paquete).
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