Relación entre poisson y distribución exponencial

Los tiempos de espera para la distribución de Poisson es una distribución exponencial con parámetro lambda. Pero no lo entiendo. Poisson modela el número de llegadas por unidad de tiempo, por ejemplo. ¿Cómo se relaciona esto con la distribución exponencial? Digamos que la probabilidad de que k llegue en una unidad de tiempo es P (k) (modelada por Poisson) y la probabilidad de k + 1 es P (k + 1), ¿cómo modela la distribución exponencial el tiempo de espera entre ellos?

Usaré la siguiente notación para ser lo más coherente posible con el wiki (en caso de que quiera ir y venir entre mi respuesta y las definiciones de wiki para el poisson y exponencial ).

$N_t$ : el número de llegadas durante el período de tiempo$t$

$X_t$ : el tiempo que tarda una llegada adicional en llegar, suponiendo que alguien haya llegado a la hora$t$

Por definición, las siguientes condiciones son equivalentes:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

El evento de la izquierda captura el evento de que nadie ha llegado en el intervalo de tiempo que implica que nuestro recuento del número de llegadas en el tiempo es idéntico al recuento en el tiempo que es el evento a la derecha.$[t,t+x]$$t+x$$t$

Por la regla del complemento, también tenemos:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Usando la equivalencia de los dos eventos que describimos anteriormente, podemos reescribir lo anterior como:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Pero,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Usando el poisson pmf lo anterior donde es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo una cantidad de unidades de tiempo, se simplifica a:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

es decir

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Sustituyendo en nuestra ecuación original, tenemos:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Lo anterior es el cdf de un pdf exponencial.

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Se dice que cualquier variable aleatoria que tenga una función de densidad como esta se distribuye exponencialmente.

Las otras respuestas hacen un buen trabajo al explicar las matemáticas. Creo que ayuda considerar un ejemplo físico. Cuando pienso en un proceso de Poisson, siempre vuelvo a la idea de que los automóviles pasan por una carretera. Lambda es el número promedio de autos que pasan por unidad de tiempo, digamos 60 / hora (lambda = 60). Sin embargo, sabemos que el número real variará: algunos días más, otros días menos. La distribución de Poisson nos permite modelar esta variabilidad.

Ahora, un promedio de 60 automóviles por hora equivale a un promedio de 1 automóvil que pasa por minuto. Sin embargo, una vez más, sabemos que habrá una variabilidad en la cantidad de tiempo entre llegadas: a veces más de 1 minuto; otras veces menos La distribución exponencial nos permite modelar esta variabilidad.

Dicho todo esto, los autos que pasan por una carretera no siempre seguirán un Proceso de Poisson. Si hay una señal de tráfico a la vuelta de la esquina, por ejemplo, las llegadas se agruparán en lugar de ser constantes. En una carretera abierta, un tractor-remolque lento puede sostener una larga fila de automóviles, causando nuevamente agrupamiento. En estos casos, la distribución de Poisson puede funcionar bien durante períodos de tiempo más largos, pero la exponencial fallará gravemente en el modelado de los tiempos de llegada.

Tenga en cuenta también que existe una gran variabilidad en función de la hora del día: más ocupada durante los tiempos de desplazamiento; mucho más lento a las 3am. Asegúrese de que su lambda refleje el período de tiempo específico que está considerando.

La distribución de Poisson se deriva normalmente de la distribución binomial (ambas discretas). Esto lo encontrarás en Wiki.

Sin embargo, la distribución de Poisson (discreta) también puede derivarse de la Distribución exponencial (continua).

He agregado la prueba a Wiki (enlace a continuación):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution