Si las distribuciones con los mismos momentos son idénticas

Los siguientes son similares pero diferentes de las publicaciones anteriores aquí y aquí

1. Dadas dos distribuciones que admiten momentos de todas las órdenes, si todos los momentos de dos distribuciones son iguales, ¿son distribuciones idénticas?
2. Dadas dos distribuciones que admiten funciones generadoras de momentos, si tienen los mismos momentos, ¿son las mismas funciones generadoras de momentos?

Déjame responder en orden inverso:

2. Sí Si existen sus MGF, serán los mismos *.

mira aquí y aquí por ejemplo

De hecho, se desprende del resultado que das en la publicación de la que proviene; si el MGF de manera exclusiva ** determina la distribución, y dos distribuciones tienen MGF y tienen la misma distribución, deben tener el mismo MGF (de lo contrario, tendría un contraejemplo para 'MGFs determina de manera única las distribuciones').

* para ciertos valores de 'mismo', debido a la frase 'casi en todas partes'

** ' casi en todas partes '

1. No, ya que existen contraejemplos.

Kendall y Stuart enumeran una familia de distribución continua (posiblemente originalmente debido a Stieltjes o alguien de esa época, pero mi recuerdo no está claro, han pasado algunas décadas) que tienen secuencias de momentos idénticas y, sin embargo, son diferentes.

El libro de Romano y Siegel (Contraejemplos en probabilidad y estadística) enumera los contraejemplos en la sección 3.14 y 3.15 (páginas 48-49). (En realidad, al mirarlos, creo que ambos estaban en Kendall y Stuart).

Romano, JP y Siegel, AF (1986),
Contraejemplos en probabilidad y estadística.
Boca Ratón: Chapman y Hall / CRC.

Para 3.15 acreditan a Feller, 1971, p227

Ese segundo ejemplo involucra a la familia de las densidades.

Las densidades difieren como $\alpha$ cambia, pero las secuencias de momento son las mismas.

Que las secuencias de momento son las mismas implica dividir en las partes$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

y luego muestra que la segunda parte aporta 0 a cada momento, por lo que son todos iguales a los momentos de la primera parte.

Así es como se ven dos de las densidades. El azul es el caso en el límite izquierdo ( ), el verde es el caso con α = 0.5 . El gráfico del lado derecho es el mismo pero con escalas log-log en los ejes.$\alpha=0$$\alpha=0.5$

Mejor aún, tal vez, haber tomado un rango mucho más grande y haber usado una escala de cuarta raíz en el eje x, haciendo que la curva azul sea recta, y la verde se mueva como una curva de pecado arriba y abajo, algo así:

Las oscilaciones por encima y por debajo de la curva azul, ya sea de mayor o menor magnitud, resultan para dejar inalterados todos los momentos enteros positivos.

$X_1,X_2$$\alpha$$X_1$$-X_2$