Expectativa del producto de variables aleatorias gaussianas

Digamos que tenemos dos vectores aleatorios gaussianos , ¿existe un resultado bien conocido para la expectativa de su producto sin asumir la independencia? $p(x_1) = N(0,\Sigma_1), p(x_2) = N(0,\Sigma_2)$ $E[x_1x_2^T]$

@ asd123 1) cuando escribe sugiere que y son vectores, en cuyo caso el producto no se define como escrito (a menos que ). ¿Te refieres a ? Si no, ¿qué quieres decir? 2) Sin independencia no es necesariamente cierto que sea conjuntamente normal, por lo que parecería que necesitaría más información sobre su distribución conjunta (y / o matriz de varianza / covarianza) antes que usted Podría decir algo definitivo.

Σ

$\Sigma$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1} x_{2}

$x_{1}x_{2}$

n = 1

$n=1$

x_{1}^{T} x_{2}

$x_{1}^{\mathrm{T}}x_{2}$

(x_{1}, x_{2})

$(x_{1},x_{2})$

Sí, quise decir que y

son vectores. También sé que son conjuntamente gaussianos. ¿Eso ayuda?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

@ asd123 en parte, sí, porque entonces

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ serán independientes si y solo si no están correlacionadas (observe la matriz de varianza / covarianza de

x^{T} = (x_{1}^{T}, x_{2}^{T})

$x^{\mathrm{T}}=(x_{1}^{\mathrm{T}},x_{2}^{\mathrm{T}})$ . las matrices de bloques son cero, entonces no están correlacionadas). Si son independientes, puede escribir el producto de puntos anterior, tomar los valores esperados y estará listo. Si no son independientes, ¿sabes algo sobre las entradas de bloque fuera de diagonal?

Por cierto, si lo anterior es realmente lo que quieres decir, entonces te recomiendo que cambies el título a "Expectativa del producto punto de los vectores aleatorios gaussianos".

Lo siento, tenía la intención de transponer la otra variable. Entonces el resultado es una matriz. Es decir (Mx1) x (1xM) = (MxM)

Respuestas:

Sí, hay un resultado bien conocido. Según su edición, podemos centrarnos primero en las entradas individuales de la matriz . Tal entrada es el producto de dos variables de media cero y varianzas finitas, digamos y . La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que el valor absoluto de la expectativa del producto no puede exceder . De hecho, cada valor en el intervalo $E[x_1 x_2^T]$ $\sigma_1^2$ $\sigma_2^2$ $|\sigma_1 \sigma_2|$ es posible porque surge de alguna distribución binormal. Por lo tanto, laentrada de debe ser menor o igual que $[-|\sigma_1 \sigma_2|, |\sigma_1 \sigma_2|]$ $i,j$ $E[x_1 x_2^T]$ $\sqrt{\Sigma_{1_{i,i}} \Sigma_{2_{j,j}}}$ en valor absoluto.

Si ahora asumimos que todas las variables son normales y que es multinormal, habrá restricciones adicionales porque la matriz de covarianza de debe ser semidefinida positiva. En lugar de confundir el punto, lo ilustraré. Supongamos que tiene dos componentes e y que tiene un componente . Deje que e tengan varianza unitaria y correlación (especificando así $(x_1; x_2)$ $(x_1; x_2)$ $x_1$ $x$ $y$ $x_2$ $z$ $x$ $y$ $\rho$ no puede ser negativo. Esto impone la condición no trivial $\Sigma_1$ ) y supongamos que tiene una unidad de varianza ( ). Deje que la expectativa de sea y la de sea . Hemos establecido que y . Sin embargo, no todas las combinaciones son posibles: como mínimo, el determinante de la matriz de covarianza de $z$ $\Sigma_2$ $x z$ $\alpha$ $y z$ $\beta$ $|\alpha| \le 1$ $|\beta| \le 1$ $(x_1; x_2)$

1 - α^{2} - β^{2} + 2 α β ρ - ρ^{2} \geq 0.

$1-\alpha ^2-\beta ^2+2 \alpha \beta \rho -\rho ^2 \ge 0.$

Para cualquier esta es una elipse (junto con su interior) inscrita dentro del cuadrado . $-1 \lt \rho \lt 1$ $\alpha, \beta$ $[-1, 1] \times [-1, 1]$

Para obtener más restricciones, se necesitan supuestos adicionales sobre las variables.

Gráfico de la región permitida $(\rho, \alpha, \beta)$

texto alternativo

whuber
fuente

No hay resultados sólidos y no depende de Gaussianity. En el caso de que y sean escalares, se pregunta si conocer la varianza de las variables implica algo sobre su covarianza. La respuesta de Whuber es correcta. La desigualdad de Cauchy-Schwarz y la semidefinidad positiva limitan los posibles valores. $x_1$ $x_2$

El ejemplo más simple es que la covarianza al cuadrado de un par de variables nunca puede exceder el producto de sus variaciones. Para las matrices de covarianza hay una generalización.

Considere la matriz de covarianza dividida en bloques de , $[x_1 \ x_2]$

[\begin{array}{cc} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{array}] .

$\left[ \begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array} \right].$

‖ Σ_{12} ‖_{q}^{2} \leq ‖ Σ_{11} ‖_{q} ‖ Σ_{22} ‖_{q}

$\Vert \Sigma_{12} \Vert_q^2 \leq \Vert \Sigma_{11} \Vert_q \Vert \Sigma_{22} \Vert_q$

Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21}

$\Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}$

Σ_{22}^{- 1}

$\Sigma_{22}^{-1}$

Σ_{22}

$\Sigma_{22}$

vqv
fuente

$(X,Y)$ $\rho$

${\mathrm E} XY= cov(X,Y)= \rho\sigma_X\sigma_Y$

$x_1x_2^T$ $XY$

ronaf
fuente

| ρ | \leq 1

$|\rho| \le 1$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$