Digamos que tenemos una variable aleatoria con varianza y media conocidas. La pregunta es: ¿cuál es la varianza de para alguna función dada f. El único método general que conozco es el método delta, pero solo da una aproximación. Ahora estoy interesado en , pero también sería bueno conocer algunos métodos generales.
Editar 29.12.2010
He hecho algunos cálculos usando la serie Taylor, pero no estoy seguro de si son correctos, por lo que me alegraría si alguien pudiera confirmarlos .
Primero necesitamos aproximar
Ahora podemos aproximar E [(f (X) -E [f (X)]) ^ 2] \ aprox E [(f (\ mu) + f '(\ mu) ( X- \ mu) + \ frac {1} {2} \ cdot f '' (\ mu) (X- \ mu) ^ 2 -E [f (X)]) ^ 2]
Usando la aproximación de sabemos que
Usando esto obtenemos:
D2[f(X)]≈1
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He subestimado las expansiones de Taylor. De hecho funcionan. Supuse que la integral del término restante puede ser ilimitada, pero con un poco de trabajo se puede demostrar que este no es el caso.
La expansión Taylor funciona para funciones en intervalo cerrado acotado. Para variables aleatorias con varianza finita, la desigualdad de Chebyshev da
Entonces, para cualquier podemos encontrar lo suficientemente grande c para queε>0 c
Primero hagamos una estimación de . Tenemos E f ( X ) = ∫ | x - E X | ≤ c f ( x ) d F ( x ) + ∫ | x - E X | > c f ( x ) d F ( x ) donde F ( x ) es la función de distribución paraEf(X)
Como el dominio de la primera integral es el intervalo que es un intervalo cerrado acotado, podemos aplicar la expansión de Taylor: f ( x ) = f ( E X ) + f ′ ( E X ) ( x - E X ) + f ″ ( E X )[EX−c,EX+c]
dondeα∈[EX-c,EX+c], y la igualdad es válida para todos losx∈[EX-c,EX+c]. Tomé solo 4 términos en la expansión Taylor, pero en general podemos tomar tantos como queramos, siempre que la funciónfsea lo suficientemente fluida.
Sustituyendo esta fórmula por la anterior obtenemos
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Conocer los dos primeros momentos de X (media y varianza) no es suficiente si la función f (x) es arbitraria (no lineal). No solo para calcular la varianza de la variable transformada Y, sino también para su media. Para ver esto, y tal vez para atacar su problema, puede suponer que su función de transformación tiene una expansión de Taylor alrededor de la media de X y trabajar desde allí.
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