¿Cómo se distribuye el mínimo de un conjunto de variables aleatorias?

Si son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente, ¿qué se puede decir sobre la distribución de en general?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Si el cdf de $X_i$ se denota por $F(x)$ , entonces el cdf del mínimo viene dado por $1-[1-F(x)]^n$ .

Si el CDF de $X_i$ se denota por $F(x)$ , entonces el CDF del mínimo viene dado por $1-[1-F(x)]^n$ .

Razonamiento: dadas $n$ variables aleatorias, la probabilidad $P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$ implica que al menos una $X_i$ es menor que $y$ .

La probabilidad de que al menos un $X_i$ sea ​​menor que $y$ es equivalente a uno menos la probabilidad de que todos los $X_i$ sean mayores que $y$ , es decir, $P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$ .

Si las $X_i$ son independientes distribuidas idénticamente, entonces la probabilidad de que todas las $X_i$ sean mayores que $y$ es $[1-F(y)]^n$ . Por lo tanto, la probabilidad original es $P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$ .

Ejemplo : diga , entonces intuitivamente la probabilidad debería ser igual a 1 (ya que el valor mínimo siempre sería menor que 1 desde para todo ). En este caso entonces la probabilidad es siempre 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman dio la respuesta fácil y exacta para una n fija. Si está interesado en el comportamiento asintótico para n grande, esto se maneja en el campo de la teoría del valor extremo . Hay una pequeña familia de posibles distribuciones limitantes; véanse, por ejemplo, los primeros capítulos de este libro .

Creo que la respuesta 1- (1-F (x)) ^ n es correcta en casos especiales. Los casos especiales son la condición de que pmf de rv se base en una fórmula para el dominio de rv. Si es diferente en varias partes del dominio, la fórmula mencionada anteriormente se desvía un poco de los resultados reales de la simulación.