Estoy enseñando una clase sobre integración de funciones de varias variables y cálculo de vectores este semestre. La clase está compuesta por la mayoría de los estudiantes de economía y de ingeniería, con un puñado de matemática y física. Enseñé esta clase el semestre pasado, y descubrí que muchos de los estudiantes de economía estaban bastante aburridos durante la segunda mitad. Pude motivar a integrales múltiples haciendo algunos cálculos con variables aleatorias distribuidas conjuntamente, pero para la parte de análisis vectorial del curso, la única motivación en la que podía pensar estaba basada en la física.
Así que me pregunto si alguien conoce una interpretación estadística / probabilística de alguno de los principales teoremas del cálculo vectorial: el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de divergencia. Parte del problema es que los campos vectoriales no parecen aparecer muy a menudo en la teoría de la probabilidad, y mucho menos en la divergencia, el gradiente o el rizo. También publiqué esta pregunta en math.stackexchange hace unos días, pero todavía estoy buscando más ideas.
Respuestas:
Un ejemplo que podría analizar es la casi probabilidad. La discusión de estos en McCullagh y Nelder: Modelos lineales generalizados utiliza (para la parte teórica) gradientes e integrales de ruta de una manera esencial. Ver el capítulo 9 de ese libro.
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Dudo que muchos estadísticos tengan que usar el cálculo vectorial como se enseña en física e ingeniería . Pero para lo que vale aquí hay algunos temas que lo usarían, al menos tangencialmente. El tema subyacente aquí es que las funciones holomórficas del análisis complejo, que se componen de funciones armónicas, están íntimamente vinculadas a través de las ecuaciones de Cauchy Riemann a los teoremas de Stokes y Green. Estas funciones pueden estudiarse examinando el interior de su dominio junto con su límite.
Corrientes de probabilidad. Esto no es solo para la mecánica cuántica. En general, las difusiones de probabilidad surgen cuando se estudian distribuciones de probabilidad variables en el tiempo que cambian suavemente. Esto incluye la versión estocástica de los sistemas clásicos, como la ecuación de calor, Navier Stokes para dinámica de fluidos, ecuaciones de onda para mecánica cuántica, etc. Los ejemplos de ecuaciones incluyen la ecuación de Fokker-Planck y las ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás / adelante que involucran divergencias, que a su vez se relacionan para calentar ecuaciones, integrales de Feynan-Kac, problemas de dirichlet y funciones de Green. Las palabras clave aquí son funciones armónicas complejas ., que satisfacen la propiedad del valor medio, que a su vez es consecuencia del teorema integral de Green y del teorema de Stokes. Un ejemplo clásico es calcular el tiempo de salida de una difusión desde una región cerrada, lo que se reduce a evaluar integrales en el límite de la superficie y explotar la armonicidad dentro de la región.
El ejemplo principal aquí son los problemas relacionados con el movimiento browniano y, en general, la amplia clase de difusiones de Ito . Un libro maravilloso (¡y excéntrico!) Sobre esto es Verde, Marrón y Probabilidad del legendario Kai Chung.
El teorema de la desintegración para la probabilidad es la implicidad de Thoerem de Stokes, en el que se desintegra una medida de probabilidad tridimensional en el límite de la superficie que encierra su soporte.
En la mecánica estadística y en los campos aleatorios de Markov, existe una gran prevalencia de conservación en forma de corrientes. El modelo de Ising, especialmente en la criticidad, y sus parientes pueden estudiarse desde el punto de vista de funciones discretas armónicas y holomórficas. De las ecuaciones de Cauchy Riemann, uno recupera tanto el teorema de Green como el teorema de Stokes, en el sentido de que las corrientes son a la vez libres de divergencia y libres de rizos, lo que en conjunto implica que el campo subyacente es holomorfo. Una gran referencia sobre esto es del trabajo de Smirnov, Chelkak y Dominil-Copin .
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