Un enfoque es calcular primero la función generadora de momento (mgf) de Yn definida por Yn=U21+⋯+U2n donde Ui,i=1,…,n es independiente y está distribuido de manera idéntica uniforme aleatorio estándar variables
Cuando tenemos eso, podemos ver que
EYn−−√
es el momento fraccionada de
Ynde orden
α=1/2. Luego podemos usar los resultados del artículo Noel Cressie y Marinus Borkent: "La función generadora de momentos tiene sus momentos",
Journal of Statistical Planning and Inference13 (1986) 337-344, que proporciona momentos fraccionarios a través de la diferenciación fraccional de la función generadora de momentos. .
Primero el momento que genera la función de U21 , que escribimos M1(t) .
M1(t)=EetU21=∫10etx2x−−√dx
y lo evalué (con ayuda de Maple y Wolphram Alpha) para dar
M1(t)=erf(−t−−√)π−−√2−t−−√
donde
i=−1−−−√ es la unidad imaginaria. (Wolphram Alpha da una respuesta similar,
pero en términos de la integral de Dawson.) Resulta que en su mayoría necesitaremos el caso para
t<0. Ahora es fácil encontrar el mgf de
Yn:
Mn(t)=M1(t)n
Luego, para los resultados del trabajo citado. Para
μ>0definen laintegral de orden
μde la función
fcomo
Iμf(t)≡Γ(μ)−1∫t−∞(t−z)μ−1f(z)dz
Entonces, para
α>0 y nointegral,
n un número entero positivo, y
0<λ<1 tal que
α=n−λ . Entonces la derivada de
f de orden
α se define como
Dαf(t)≡Γ(λ)−1∫t−∞(t−z)λ−1dnf(z)dzndz.
Luego declaran (y prueban) el siguiente resultado, para una variable aleatoria positiva
X : Supongamos quese define
MX (mgf). Entonces, para
α>0 ,
DαMX(0)=EXα<∞
Ahora podemos intentar aplicar estos resultados a
Yn . Con
α=1/2 encontramos
EY1/2n=D1/2Mn(0)=Γ(1/2)−1∫0−∞|z|−1/2M′n(z)dz
donde el primo denota la derivada. Maple da la siguiente solución:
∫0−∞n⋅(erf(−z−−−√)π−−√−2ez−z−−−√)en(−2ln2+2ln(erf(−z√))−ln(−z)+ln(π))22π(−z)3/2erf(−z−−−√)dz
Mostraré una gráfica de esta expectativa, hecha en arce usando integración numérica, junto con la solución aproximada
A(n)=n/3−1/15−−−−−−−−−√ de algún comentario (y discutido en la respuesta por @Henry). Son notablemente cercanos:

Como complemento, una gráfica del porcentaje de error:

Por encima de aproximadamente n=20 la aproximación es casi exacta. Debajo del código de arce utilizado:
int( exp(t*x)/(2*sqrt(x)), x=0..1 ) assuming t>0;
int( exp(t*x)/(2*sqrt(x)), x=0..1 ) assuming t<0;
M := t -> erf(sqrt(-t))*sqrt(Pi)/(2*sqrt(-t))
Mn := (t,n) -> exp(n*log(M(t)))
A := n -> sqrt(n/3 - 1/15)
Ex := n -> int( diff(Mn(z,n),z)/(sqrt(abs(z))*GAMMA(1/2) ), z=-infinity..0 ,numeric=true)
plot([Ex(n),A(n)],n=1..100,color=[blue,red],legend=[exact,approx],labels=[n,expectation],title="expectation of sum of squared uniforms")
plot([((A(n)-Ex(n))/Ex(n))*100],n=1..100,color=[blue],labels=[n,"% error"],title="Percentage error of approximation")