Supongamos que

¿Cuál es la forma más fácil de ver que la siguiente afirmación es verdadera?

Supongamos que $Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)$ . Mostrar $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$ .

$Y_{(1)} = \min\limits_{1 \leq i \leq n}Y_i$

Por , esto significa que . $X \sim \text{Exp}(\beta)$ $f_{X}(x) = \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta} \cdot \mathbf{1}_{\{x > 0\}}$

Es fácil ver que $Y_{(1)} \sim \text{Exponential}(1/n)$ . Además, también tenemos que $\sum_{i=1}^{n}Y_i \sim \text{Gamma}(\alpha = n, \beta = 1)$ bajo la parametrización

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α) β^{α}} x^{α - 1} e^{- x / β} 1_{{x > 0}}, α, β > 0 .

$f_{Y}(y) =\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\mathbf{1}_{\{x > 0\}}\text{, }\qquad \alpha, \beta> 0\text{.}$

Solución dada la respuesta de Xi'an : usando la notación en la pregunta original:

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} [Y_{i} - Y_{(1)}] & = \sum_{i = 1}^{n} [Y_{(i)} - Y_{(1)}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} Y_{(i)} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 1}^{n} {Y_{(i)} - Y_{(i - 1)} + Y_{(i - 1)} - \dots - Y_{(1)} + Y_{(1)}} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} {Y_{(j)} - Y_{(j - 1)}} - n Y_{(1)} where Y_{(0)} = 0 \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n} {Y_{(j)} - Y_{(j - 1)}} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (n - j + 1) [Y_{(j)} - Y_{(j - 1)}] - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 2}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] + n Y_{(1)} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 2}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{i=1}^{n}[Y_i - Y_{(1)}] &= \sum_{i=1}^{n}[Y_{(i)}-Y_{(1)}] \\ &= \sum_{i=1}^{n}Y_{(i)}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^{n}\{Y_{(i)}-Y_{(i-1)}+Y_{(i-1)}-\cdots-Y_{(1)}+Y_{(1)}\}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}\{Y_{(j)}-Y_{(j-1)}\}-nY_{(1)}\text{ where } Y_{(0)} = 0 \\ &= \sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^{n}\{Y_{(j)}-Y_{(j-1)}\}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{j=1}^{n}(n-j+1)[Y_{(j)}-Y_{(j-1)}]-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]+nY_{(1)}-nY_{(1)} \\ &= \sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]\text{.} \end{align}$ De esto, obtenemos que

\sum_{i = 2}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] \sim Gamma (n - 1, 1)

$\sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}] \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$ 1) .

self-study distributions exponential order-statistics jacobian Clarinetista
fuente

@MichaelChernick 1) No estoy seguro de si mi prueba de independencia es correcta, y 2) No estoy seguro de si el resultado que supuse anteriormente sobre la diferencia de las distribuciones Gamma es incluso correcto. Esto parece contradecir lo que se da aquí , pero ¿tal vez esta situación es diferente ya que esta diferencia incluye una de las estadísticas del pedido? No estoy seguro.

Clarinetista

@ Clarinetista, no estoy seguro. Tal vez intente trabajar con , que claramente es igual a la suma con la que está trabajando. La respuesta aquí puede ser útil: math.stackexchange.com/questions/80475/…

\sum_{i = 2}^{n} (Y_{(i)} - Y_{(1)})

$\sum_{i = 2}^n (Y_{(i)} - Y_{(1)})$

jugador

¿Has intentado demostrar que cada - excepto uno , para el cual y, luego, usando el hecho de que la suma de iid Variables exponenciales se distribuirá Gamma?

(Y_{i} - Y_{(1)}) \sim Expon (1)

$(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Expon}(1)$

i

$i$

Y_{i} - Y_{(1)} = 0

$Y_i - Y_{(1)} = 0$

(n - 1)

$(n-1)$

Marcelo Ventura el

@jbowman Tenemos y condicionado a , lo dividimos por , dando , por lo tanto tenemos . Ahora, esto es lo que me molestó acerca de esta prueba: consideraba como una constante. Pero no es una constante. ¿Por qué funcionaría esto?

F_{Z_{yo}} (z_{yo}) = F_{Y_{yo}} (z_{yo} + un) = {mi}^{- (z_{yo} + un)}

$f_{Z_i}(z_i) = f_{Y_i}(z_i + a) = e^{-(z_i + a)}$

Y_{i} \geq a

$Y_i \geq a$

e^{- a}

$e^{-a}$

e^{- z_{i}}

$e^{-z_i}$

(Z_{i} ∣ Y_{i} \geq A) \sim Exp (1)

$(Z_i \mid Y_i \geq A) \sim \text{Exp}(1)$

A

$A$

Y_{(1)}

$Y_{(1)}$

Clarinetista

El punto es que no importa lo que es! ¡La distribución es siempre ! Notable, ¿no es así? Y de esto puede concluir que la distribución de es siempre para , independientemente del valor real de .

a

$a$

Exp (1)

$\text{Exp}(1)$

Y_{i} - Y_{[1]}

$Y_i - Y_{[1]}$

Exp (1)

$\text{Exp}(1)$

i > 1

$i > 1$

Y_{[1]}

$Y_{[1]}$

jbowman

Respuestas:

La prueba se da en la Madre de Todos los Libros de Generación Aleatoria, Generación de Variación Aleatoria No Uniforme de Devroye , en la p.211 (¡y es muy elegante!):

Teorema 2.3 (Sukhatme, 1937) Si definimos entonces los espacios exponenciales normalizados derivan de las estadísticas de orden de una muestra exponencial iid de tamaño son en sí mismas variables exponenciales iid $E_{(0)}=0$
$(n - i + 1) (E_{(i)} - E_{(i - 1)})$ $(n-i+1)(E_{(i)}-E_{(i-1)})$ $E_{(1)}\le\ldots\le E_{(n)}$ $n$

Prueba. Desde la la densidad conjunta de la estadística de orden escribe como Configurando , el cambio de variables de a tiene un constante jacobiano [¡casualmente igual apero esto no necesita ser calculado] y, por lo tanto, la densidad de

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} e_{i} & = \sum_{i = 1}^{n} e_{(i)} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} (e_{(j)} - e_{(j - 1)}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n} (e_{(j)} - e_{(j - 1)}) = \sum_{j = 1}^{n} (n - j + 1) (e_{(j)} - e_{(j - 1)}) \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n e_i &= \sum_{i=1}^n e_{(i)} =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i(e_{(j)}-e_{(j-1)})\\ &=\sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^n(e_{(j)}-e_{(j-1)}) =\sum_{j=1}^n (n-j+1)(e_{(j)}-e_{(j-1)}) \end{align*}$

(E_{(1)}, \dots, E_{(n)})

$(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

F (mi) = norte! Exp {- \sum_{yo = 1}^{norte} {mi}_{(yo)}} = norte! Exp {- \sum_{yo = 1}^{norte} (norte - yo + 1) ({mi}_{(yo)} - {mi}_{(yo - 1)})}

$f(\mathbf{e})=n!\,\exp\left\{-\sum_{i=1}^ne_{(i)}\right\}=n!\,\exp\left\{-\sum_{i=1}^n (n-i+1)(e_{(i)}-e_{(i-1)})\right\}$

Y_{i} = (E_{(i)} - E_{(i - 1)})

$Y_i=(E_{(i)}-E_{(i-1)})$

(E_{(1)}, \dots, E_{(n)})

$(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$

1 / n!

$1/n!$

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$ es proporcional a que establece el resultado. QED

Exp {- \sum_{yo = 1}^{norte} y_{yo}}

$\exp\left\{-\sum_{i=1}^n y_i \right\}$

Una alternativa que me sugirió Gérard Letac es verificar que tenga la misma distribución que (en virtud de la propiedad sin memoria), que hace la derivación de sencillo.

({mi}_{(1)}, ..., {mi}_{(norte)})

$(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

(\frac{{mi}_{1}}{norte}, \frac{{mi}_{1}}{norte} + \frac{{mi}_{2}}{norte - 1}, ..., \frac{{mi}_{1}}{norte} + \frac{{mi}_{2}}{norte - 1} + ... + \frac{{mi}_{norte}}{1})

$\left(\frac{E_1}{n},\frac{E_1}{n}+\frac{E_2}{n-1},\ldots,\frac{E_1}{n}+\frac{E_2}{n-1}+\ldots+\frac{E_n}{1}\right)$

\sum_{k = 1}^{norte} ({mi}_{k} - {mi}_{(1)}) \sim \sum_{k = 1}^{norte - 1} {mi}_{k}

$\sum_{k=1}^n(E_k-E_{(1)})\sim \sum_{k=1}^{n-1}E_k$

Xi'an
fuente

Gracias por esta respuesta! Me gustaría completar algunos detalles para cualquiera que lea esto en el futuro: son valores observados de , y la forma más fácil de ver que es escribir término por término. Debido a que la densidad de es proporcional a , separe el para ver que la densidad es proporcional a , por tanto .

e_{i}

$e_i$

E_{i}

$E_i$

\sum_{i = 1}^{n} e_{(i)} = \sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) (e_{(i)} - e_{(i - 1)}) = \sum_{i = 1}^{n} e_{(i)}

$\sum_{i=1}^{n}e_{(i)} = \sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(e_{(i)} - e_{(i-1)}) = \sum_{i=1}^{n}e_{(i)}$

\sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) (e_{(i)} - e_{(i - 1)})

$\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(e_{(i)} - e_{(i-1)})$

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1, \dots, Y_n)$

\exp (- \sum_{i = 1}^{n} y_{i})

$\exp\left(-\sum_{i=1}^{n}y_i \right)$

y_{i}

$y_i$

\prod_{i = 1}^{n} e^{- y_{i}}

$\prod_{i=1}^{n}e^{-y_i}$

Y_{1}, \dots, Y_{n} \overset{iid}{\sim} Exp (1)

$Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)$

Clarinetista

Presento aquí lo que se ha sugerido en los comentarios de @jbowman.

Deje una constante . Deje que siga un y considere . Luego $a\geq 0$ $Y_i$ $\text{Exp(1)}$ $Z_i = Y_i-a$

Pr (Z_{yo} \leq z_{yo} ∣ Y_{yo} \geq un) = Pr (Y_{yo} - un \leq z_{yo} ∣ Y_{yo} \geq un)

$\Pr(Z_i\leq z_i \mid Y_i \geq a) = \Pr(Y_i-a\leq z_i \mid Y_i \geq a)$

⟹ Pr (Y_{yo} \leq z_{yo} + un ∣ Y_{yo} \geq un) = \frac{Pr (Y_{yo} \leq z_{yo} + un, Y_{yo} \geq un)}{1 - Pr (Y_{yo} \leq un)}

$\implies \Pr(Y_i\leq z_i+a \mid Y_i \geq a) = \frac {\Pr(Y_i\leq z_i+a,Y_i \geq a)}{1-\Pr(Y_i\leq a)}$

⟹ \frac{Pr (un \leq Y_{yo} \leq z_{yo} + un)}{1 - Pr (Y_{yo} \leq un)} = \frac{1 - {mi}^{- z_{yo} - un} - 1 + {mi}^{- un}}{{mi}^{- un}} = 1 - {mi}^{- z_{yo}}

$\implies \frac {\Pr(a\leq Y_i\leq z_i+a)}{1-\Pr(Y_i\leq a)} = \frac {1-e^{-z_i-a}-1+e^{-a}}{e^{-a}}=1-e^{-z_i}$

cual es la función de distribución de . $\text{Exp(1)}$

Describamos esto: la probabilidad de que un rv caiga en un intervalo específico (el numerador en la última línea), dado que excederá el límite inferior del intervalo (el denominador), depende solo del longitud del intervalo y no en donde este intervalo se coloca en la línea real. $\text{Exp(1)}$ Esta es una encarnación de la propiedad " falta de memoria " de la distribución exponencial, aquí en un entorno más general, libre de interpretaciones de tiempo (y se aplica a la distribución exponencial en general)

Ahora, al condicionar , a a ser no negativo y, de manera crucial, el resultado obtenido se mantiene . Entonces podemos decir lo siguiente: $\{Y_i \geq a\}$ $Z_i$ $\forall a\in \mathbb R^+$

Si , entonces . $Y_i\sim \text{Exp(1)}$ $\forall Q\geq 0 : Z_i = Y_i-Q \geq 0$ $\implies$ $Z_i\sim \text{Exp(1)}$

¿Podemos encontrar un que sea libre de tomar todos los valores reales no negativos y para el cual la desigualdad requerida siempre se mantenga (casi seguramente)? Si podemos, entonces podemos prescindir del argumento condicionante. $Q\geq 0$

Y de hecho podemos. Es la estadística de orden mínimo , , . Entonces hemos obtenido $Q=Y_{(1)}$ $\Pr(Y_i \geq Y_{(1)})=1$

Y_{yo} \sim Exp (1) ⟹ Y_{yo} - Y_{(1)} \sim Exp (1)

$Y_i\sim \text{Exp(1)} \implies Y_i-Y_{(1)} \sim \text{Exp(1)}$

Esto significa que

Pr (Y_{yo} - Y_{(1)} \leq y_{yo} - y_{(1)}) = Pr (Y_{yo} \leq y_{yo})

$\Pr(Y_i-Y_{(1)} \leq y_i-y_{(1)}) = \Pr(Y_i \leq y_i)$

Entonces, si la estructura probabilística de permanece sin cambios si restamos la estadística de orden mínimo, se deduce que las variables aleatorias y donde independientes, también son independientes ya que el posible vínculo entre ellos, no tiene un efecto en la estructura probabilística. $Y_i$ $Z_i=Y_i-Y_{(1)}$ $Z_j=Y_j-Y_{(1)}$ $Y_i, Y_j$ $Y_{(1)}$

Entonces la suma contiene iid variables aleatorias (y un cero), y así $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)})$ $n-1$ $\text{Exp(1)}$

\sum_{yo = 1}^{norte} (Y_{yo} - Y_{(1)}) \sim Gama (norte - 1, 1)

$\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$

Alecos Papadopoulos
fuente