Distribución asintótica de muestras censuradas de

Sea la estadística de orden de una muestra iid de tamaño de . Supongamos que los datos están censurados, por lo que vemos solo la parte superior por ciento de los datos, es decirPonga , ¿cuál es la distribución asintótica de $X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$ $n$ $\exp(\lambda)$ $(1-p) \times 100%$

X_{(⌊ p n ⌋)}, X_{(⌊ p n ⌋ + 1)}, \dots, X_{(n)} .

$X_{(\lfloor p n \rfloor )}, X_{(\lfloor p n\rfloor + 1)}, \ldots, X_{(n)}\,.$

m = ⌊ p n ⌋

$m = \lfloor p n \rfloor$

(X_{(m)}, \frac{\sum_{i = m + 1}^{n} X_{(i)}}{(n - m)}) ?

$\left(X_{(m)}, \frac{\sum_{i= m+1}^n X_{(i)}}{(n-m)} \right)?$

Esto está algo relacionado con esta pregunta y esto y también marginalmente con esta pregunta.

Cualquier ayuda sería apreciada. Intenté diferentes enfoques pero no pude progresar mucho.

self-study mathematical-statistics exponential asymptotics order-statistics ellos
fuente

Se puede demostrar que está condicionado por , vector se distribuye como una estadística de orden de iid muestras de (con como se define en la pregunta, es decir, ), por lo tanto así que en el límite , recuperamos el CLT debido a la independencia de , este parece ser el camino correcto, pero No puedo ampliar este argumento y encontrar asintótico para .. .

X_{(m)}

$X_{(m)}$

(X_{(m + 1)} - X_{(m)}, \dots, X_{(n)} - X_{(m)} | X_{(m)})

$(X_{(m+1)}−X_{(m)},…,X_{(n)}−X_{(m)}|X_{(m)})$

{Y_{i}}_{1}^{n - m}

$\{Y_i\}_{1}^{n−m}$

\exp (1)

$\exp(1)$

m

$m$

m = ⌊ p n ⌋

$m = \lfloor pn \rfloor$

\frac{1}{m - n} \sum_{i = m + 1}^{n} X_{(i)} - X_{(m)} | X_{(m)} = \frac{1}{m - n} \sum_{i = 1}^{n - m} Y_{(i)}

$\frac{1}{m−n}\sum_{i=m+1}^nX_{(i)}−X_{(m)}|X_{(m)} = \frac{1}{m−n} \sum_{i=1}^{n-m} Y_{(i)}$

n \to \infty

$n \to \infty$

Y_{i}

$Y_i$

(X_{(m)}, \frac{1}{m - n} \sum_{i = m + 1}^{n} X_{(i)})

$(X_{(m)}, \frac{1}{m−n}\sum_{i=m+1}^nX_{(i)})$

ellos

Para OP: ¿Por qué se refiere a su muestra como censurada? El término censurado indicaría que los valores por debajo del punto de censura se registran como 0, o se registran en el punto de censura, etc. Pero eso no es lo que está haciendo ... los está descartando, lo que no es censurar ... es más como truncarlos. Y dado que está considerando la distribución asintótica y considera que es grande, ¿por qué le importa ordenar primero la muestra y truncar la muestra ordenada? ¿Por qué no simplemente considerar una distribución exponencial truncada, truncada a continuación en p%, y luego sumar los términos de eso?

n

$n$

Wolfies

@wolfies, arreglé todos los errores tipográficos que has señalado. Voy a mirar en la distribución truncada . En cuanto a la censura, he eliminado la nota. Sin embargo, algunas fuentes que he mirado refieren a un problema similar al tipo II censurar la parte superior de la página 6 aquí

les

@ ellos son terminología no estándar hasta donde yo sé. Debe usar un modelo truncado aquí.

shadowtalker

Respuestas:

Dado que es solo un factor de escala, sin pérdida de generalidad, elija unidades de medida que hagan , haciendo que la distribución subyacente funcione con densidad . $\lambda$ $\lambda=1$ $F(x)=1-\exp(-x)$ $f(x)=\exp(-x)$

A partir de consideraciones paralelas a las del teorema del límite central para medianas de muestra , es asintóticamente normal con una media y varianza $X_{(m)}$ $F^{-1}(p)=-\log(1-p)$

Var (X_{(m)}) = \frac{p (1 - p)}{n f (- \log (1 - p))^{2}} = \frac{p}{n (1 - p)} .

$\operatorname{Var}(X_{(m)}) = \frac{p(1-p)}{n f(-\log(1-p))^2} = \frac{p}{n(1-p)}.$

Debido a la propiedad sin memoria de la distribución exponencial , las variables actúan como las estadísticas de orden de una muestra aleatoria de extraída de , a la que ha sido añadido. Escritura $(X_{(m+1)}, \ldots, X_{(n)})$ $n-m$ $F$ $X_{(m)}$

Y = \frac{1}{n - m} \sum_{i = m + 1}^{n} X_{(i)}

$Y = \frac{1}{n-m}\sum_{i=m+1}^n X_{(i)}$

por su media, es inmediato que la media de es la media de (igual a ) y la varianza de es veces la varianza de (también igual a ). El teorema del límite central implica que la estandarizada es asintóticamente estándar normal. Por otra parte, debido es condicionalmente independiente de , que al mismo tiempo tiene la versión estandarizada de convertirse asintóticamente normal estándar y sin correlación con . Es decir, $Y$ $F$ $1$ $Y$ $1/(n-m)$ $F$ $1$ $Y$ $Y$ $X_{(m)}$ $X_{(m)}$ $Y$

\begin{matrix} (1) & (\frac{X_{(m)} + \log (1 - p)}{\sqrt{p / (n (1 - p))}}, \frac{Y - X_{(m)} - 1}{\sqrt{n - m}}) \end{matrix}

$\left(\frac{X_{(m)} + \log(1-p)}{\sqrt{p/(n(1-p))}}, \frac{Y - X_{(m)} - 1}{\sqrt{n-m}}\right)\tag{1}$

asymptotically has a bivariate Standard Normal distribution.

The graphics report on simulated data for samples of $n=1000$ ( $500$ iterations) and $p=0.95$ . A trace of positive skewness remains, but the approach to bivariate normality is evident in the lack of relationship between $Y-X_{(m)}$ and $X_{(m)}$ and the closeness of the histograms to the Standard Normal density (shown in red dots).

The covariance matrix of the standardized values (as in formula $(1)$ ) for this simulation was

(\begin{matrix} 0.967 & - 0.021 \\ - 0.021 & 1.010 \end{matrix}),

$\pmatrix{0.967 & -0.021 \\ -0.021 & 1.010},$ comfortably close to the unit matrix which it approximates.

The R code that produced these graphics is readily modified to study other values of $n$ , $p$ , and simulation size.

n <- 1e3
p <- 0.95
n.sim <- 5e3
#
# Perform the simulation.
# X_m will be in the first column and Y in the second.
#
set.seed(17)
m <- floor(p * n)
X <- apply(matrix(rexp(n.sim * n), nrow = n), 2, sort)
X <- cbind(X[m, ], colMeans(X[(m+1):n, , drop=FALSE]))
#
# Display the results.
#
par(mfrow=c(2,2))

plot(X[,1], X[,2], pch=16, col="#00000020", 
     xlab=expression(X[(m)]), ylab="Y",
     main="Y vs X", sub=paste("n =", n, "and p =", signif(p, 2)))

plot(X[,1], X[,2]-X[,1], pch=16, col="#00000020", 
     xlab=expression(X[(m)]), ylab=expression(Y - X[(m)]),
     main="Y-X vs X", sub="Loess smooth shown")
lines(lowess(X[,2]-X[,1] ~ X[,1]), col="Red", lwd=3, lty=1)

x <- (X[,1] + log(1-p))  / sqrt(p/(n*(1-p)))
hist(x, main="Standardized X", freq=FALSE, xlab="Value")
curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lty=3, lwd=2)

y <- (X[,2] - X[,1] - 1) * sqrt(n-m)
hist(y, main="Standardized Y-X", freq=FALSE, xlab="Value")
curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lty=3, lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

round(var(cbind(x,y)), 3) # Should be close to the unit matrix

whuber
fuente