Valor esperado de iid variables aleatorias

Encontré esta derivación que no entiendo: si son muestras aleatorias de tamaño n tomadas de una población de media y varianza , entonces$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Aquí es donde estoy perdido. El argumento utilizado es porque están distribuidos de manera idéntica. En realidad esto no es cierto. Supongamos que tengo una muestra, y luego si selecciono al azar 2 números con reemplazo y repito este procedimiento 10 veces, entonces obtengo 10 muestras: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Así es como se ve para 2 variables aleatorias . Ahora, si tomo el valor esperado de , obtengo,$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Pero el valor esperado de la población es 3.5. ¿Qué está realmente mal en mi razonamiento?

En primer lugar, no son muestras. Estas son variables aleatorias como lo señala Tim. Supongamos que está haciendo un experimento en el que estima la cantidad de agua en un alimento; para eso, tome 100 mediciones de contenido de agua para 100 alimentos diferentes. Cada vez que obtiene un valor del contenido de agua. Aquí el contenido de agua es una variable aleatoria y ahora supongamos que hay en total 1000 alimentos que existen en el mundo. 100 productos alimenticios diferentes se denominarán una muestra de estos 1000 productos alimenticios. Observe que el contenido de agua es la variable aleatoria y 100 valores de contenido de agua obtenidos hacen una muestra. $X_1, X_2,...,X_n$

Suponga que muestra aleatoriamente n valores de una distribución de probabilidad, de forma independiente e idéntica, dado que . Ahora necesita encontrar el valor esperado de . Como cada se muestrea de forma independiente e idéntica, el valor esperado de cada es . Por lo tanto, obtienes .$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

La tercera ecuación en su pregunta es la condición para que un estimador sea un estimador imparcial del parámetro de población. La condición para que un estimador sea imparcial es

donde theta es el parámetro de población y es el parámetro estimado por muestra.$\bar{\theta}$

En su ejemplo, su población es y se le ha dado una muestra de valores de iid que son . La pregunta es cómo calcularía la media de la población dada esta muestra. Según la fórmula anterior, el promedio de la muestra es un estimador imparcial de la media de la población. El estimador imparcial no necesita ser igual a la media real, pero es tan cercano a la media como puede obtener esta información.$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$