Diferencia de dos variables aleatorias lognormales iid

Deje que y sean 2 iidrv's donde . Me gustaría saber la distribución de .$X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

Lo mejor que puedo hacer es tomar la serie de Taylor de ambos y obtener que la diferencia es la suma de la diferencia entre dos rv normales y dos rv chi-cuadrado además del resto de la diferencia entre el resto de los términos. ¿Hay alguna manera más directa de obtener la distribución de la diferencia entre 2 iid log-normal rv?

Este es un problema dificil. Primero pensé en usar (alguna aproximación de) la función generadora de momento de la distribución lognormal. Eso no funciona, como explicaré. Pero primero alguna notación:

Sea la densidad normal estándar y la función de distribución acumulativa correspondiente. Solo analizaremos la distribución lognormal de casos , que tiene la función de densidad y función de distribución acumulativa Suponga que e son variables aleatorias independientes con la distribución lognormal anterior. Estamos interesados ​​en la distribución de , que es una distribución simétrica con media cero. Sea la función generadora de momentos deΦ l n N ( 0 , 1 ) f ( x ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$F(x)=Φ(lnx)XYD=X

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$M ( t ) = E e t X X t ∈ ( - ∞ , 0 ] D M D ( t ) = E e t ( X - Y ) = E e t $D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$. Se define solo para , por lo que no se define en un intervalo abierto que contenga cero. La función de generación de momentos para es . Entonces, la función generadora de momento para solo se define para , por lo que no es muy útil.$t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$

Eso significa que vamos a necesitar algún enfoque más directo para encontrar aproximaciones para la distribución de . Suponga que , calcule (y el caso se resuelve por simetría, obtenemos ). $D$$t\ge 0$ t<0P(D≤t)=1-P(D≤|t|

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

Esta expresión se puede usar para la integración numérica o como base para la simulación. Primero una prueba:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

Lo cual es claramente correcto. Vamos a resumir esto dentro de una función:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

lo que da:

Luego podemos encontrar la función de densidad diferenciando bajo el signo integral, obteniendo

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

que podemos probar:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

Y trazando la densidad que obtenemos:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

También intenté obtener una aproximación analítica, pero hasta ahora no tuve éxito, no es un problema fácil. Pero la integración numérica como la anterior, programada en R es muy rápida en el hardware moderno, por lo que es una buena alternativa que probablemente debería usarse mucho más.

Esto no responde estrictamente a su pregunta, pero ¿no sería más fácil observar la proporción de e ? Entonces simplemente llegas a$X$$Y$

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

Dependiendo de su aplicación, esto puede satisfacer sus necesidades.