Variable aleatoria uniforme discreta (?) Que toma todos los valores racionales en un intervalo cerrado

Acabo de tener un ataque de pánico (intelectual).

• Una variable aleatoria continua que sigue un uniforme en un intervalo cerrado $U(a,b)$ : un concepto estadístico confortablemente familiar.
• Un rv uniforme continuo que tiene soporte sobre los reales extendidos (medio o entero): no es un rv propio, sino un concepto bayesiano básico para un previo impropio, útil y aplicable.
• Un uniforme discreto que toma un número finito de valores: arrojemos una cúpula geodésica, no es gran cosa.

Pero, ¿qué pasa con una función que tiene como dominio todos los racionales que están incluidos en un intervalo cerrado con límites enteros (comience con $[0,1]$ si lo desea)? ¿Y queremos usarlo en un marco probabilístico, que requiera que cada valor posible tenga la misma probabilidad que todos los demás?

El número de valores posibles es infinitamente contable (que caracteriza muchas distribuciones discretas), pero ¿cómo expresar la probabilidad de un valor único dado que queremos probabilidades iguales?

¿Podemos decir-mostrar-demostrar que tal entidad es (no es) una variable aleatoria?

Si no es así, ¿es esta otra encarnación (quizás ya conocida) de un "previo inapropiado"?

¿Es posible que esta entidad sea en un sentido bien definido, por especial que sea, "equivalente" a un rv uniforme continuo? ¿O acabo de cometer un pecado capital?

Parece que el hecho de que el dominio es un intervalo cerrado no me deja dejar ir. Las cosas delimitadas suelen ser manejables.

Las preguntas son muchas para ser indicativas de la vorágine interna. No estoy pidiendo respuestas a cada una de ellas.

En cualquier momento que pueda aportar alguna idea, actualizaré.

ACTUALIZACIÓN: la presente pregunta acaba de adquirir una secuela constructivista aquí.

Esta "variable aleatoria" es similar a la idea de tener un previo plano en toda la línea real (su segundo ejemplo).

Para mostrar que no puede haber una variable aleatoria tal que P ( X = q ) = c para todos q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] y constante c , usamos la propiedad aditiva σ de variables aleatorias: la unión contable de los eventos disjuntos tienen una probabilidad igual a la (posiblemente infinita) suma de probabilidades de los eventos. Entonces, si c = 0 , la probabilidad P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , ya que es la suma de innumerables ceros. Si c > 0 , entonces P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . Sin embargo, una variable aleatoria adecuada que tome valores en Q ∩ [ 0 , 1 ] debe ser tal que P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , por lo que no existe dicha variable aleatoria.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

La clave aquí, como ya sabrá, es que si el espacio está compuesto de muchos puntos, entonces podemos usar y no tenemos ningún problema con la suma, y ​​si el espacio tiene innumerables puntos, puede tener c = 0 y la σ -additividad no se viola cuando se integra sobre el espacio porque es una declaración sobre cosas contables . Sin embargo, tendrá problemas cuando desee una distribución uniforme en un conjunto infinitamente contable.$c>0$$c=0$$\sigma$

Sin embargo, en el contexto de un previo bayesiano, puede decir que para todos los q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] si está dispuesto a usar el previo incorrecto.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Un hecho más positivo es el siguiente.
Si deja de lado el requisito de que la medida de probabilidad sea contablemente aditiva, y solo requiera, en cambio, que sea finitamente aditiva (solo por el bien de esta pregunta), entonces para los números racionales la respuesta es "sí".
Los números racionales son un grupo de aditivos ya que uno puede sumar dos números racionales, hay un elemento neutro, cero, y cualquier tiene un inverso aditivo - z ∈ Q . Ahora, uno puede equipar los números racionales con la topología discreta para que sean un grupo discreto . (Esto es importante porque en otros contextos es más conveniente no hacerlo y ponerles otra topología).$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$

Vistos como un grupo discreto, son incluso un grupo discreto contable porque solo hay contablemente muchos números racionales.
Además, son un grupo abeliano porque para cualquier par de números racionales. Ahora, los números racionales, vistos como un grupo discreto contable, son un grupo susceptible. Vea aquí la definición de un grupo discreto aceptable. Aquí se muestra que todos los grupos discretos abelianos contables son susceptibles. En particular, esto se aplica al grupo de números racionales. Por lo tanto, según la definición misma de un grupo discreto aceptable, existe una medida de probabilidad finitamente aditiva $z +y =y+z$

$\mu$en los números racionales que es invariante traducción, lo que significa que para cualquier subconjunto A ⊂ Q y cualquier número racional z ∈ Q . Esta propiedad abarca la forma intuitiva de definir la "uniformidad". μ desvanece necesariamente en todos los subconjuntos finitos: μ ( { z } ) = 0 para todos z ∈ Q .$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
Si busca una variable aleatoria en lugar de una medida de probabilidad, simplemente considere la función de identidad en el espacio de probabilidad . Esto proporciona una variable aleatoria requerida. Por lo tanto, si relaja un poco su definición de probabilidad, terminará con una respuesta positiva para los números racionales. Quizás, la existencia de μ parece un poco contra-intuitiva. Se puede tener una mejor idea de μ teniendo en cuenta que una consecuencia directa de la invariancia de la traducción es que la medida de todos los números racionales cuyo piso es par es la mitad; Además, la medida de las personas con piso impar es la mitad, y así sucesivamente. Esa medida $(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$que acabamos de demostrar que existe, también desaparece necesariamente en todos los subconjuntos delimitados (como se puede mostrar con un argumento similar), en particular en el intervalo de la unidad.
Por lo tanto, no da una respuesta inmediata para los números racionales en el intervalo unitario. Uno hubiera pensado que la respuesta es más fácil de dar para los números racionales en el intervalo de la unidad en lugar de todos los números racionales, pero parece ser al revés. (Sin embargo, también parece que uno puede inventar una medida de probabilidad sobre los números racionales en el intervalo de la unidad con propiedades similares, pero la respuesta requeriría una definición más precisa de "uniformidad", tal vez algo similar a "traducción" invariante siempre que la traducción no conduzca fuera del intervalo de la unidad ".)$\mu$

ACTUALIZACIÓN: inmediatamente obtiene una medida sobre los racionales de intervalo de unidad que es uniforme en ese sentido, al considerar la medida de avance de la de los racionales, que construimos, a lo largo del mapa, desde los racionales hasta los racionales de intervalo de unidad que se mapean cada racional a su parte fraccional.
Por lo tanto, después de relajar el requisito de la aditividad finita, obtiene tales medidas en los dos casos que mencionó.