Construyendo un rv discreto teniendo como soporte todos los racionales en

Esta es la secuela constructivista de esta pregunta .

Si no podemos tener una variable aleatoria uniforme discreta que tenga como soporte todos los racionales en el intervalo $[0,1]$ , la siguiente mejor opción es:

Construya una variable aleatoria $Q$ que tenga este soporte, $Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$ , y que siga alguna distribución. Y el artesano en mí requiere que esta variable aleatoria se construya a partir de distribuciones existentes, en lugar de crearse definiendo de manera abstracta lo que deseamos obtener.

Entonces se me ocurrió lo siguiente:

Sea $X$ una variable aleatoria discreta que sigue la Distribución Geométrica-Variante II con el parámetro $0<p<1$ , a saber

Supongamos también que $Y$ sea ​​una variable aleatoria discreta que sigue la Distribución Geométrica-Variante I con el mismo parámetro $p$ , a saber

$X$ e$Y$ son independientes. Define ahora la variable aleatoria

y considerar la distribución condicional

En palabras sueltas, "condicional es la relación de X sobre Y condicional en que X sea ​​menor o igual que Y ". El apoyo de esta distribución condicional es { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . . . , 1 / k , 1 / ( k + 1 ) , . . . , 2 / 3 , 2 /$Q$$X$$Y$$X$$Y$ .$\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

La "pregunta" es: ¿Alguien puede proporcionar la función de masa de probabilidad condicional asociada?

Un comentario preguntaba "¿debería ser de forma cerrada"? Dado que lo que constituye una forma cerrada hoy en día no es tan claro, déjenme ponerlo de esta manera: estamos buscando una forma funcional en la que podamos ingresar un número racional de , y obtener la probabilidad (para algunos valor especificado del parámetro p, por supuesto), lo que lleva a un gráfico indicativo de la pmf. Y luego varíe p para ver cómo cambia el gráfico.$[0,1]$$p$$p$

Si ayuda, entonces podemos abrir uno o ambos límites del soporte, aunque estas variantes nos privarán de la capacidad de graficar definitivamente los valores superiores y / o inferiores del pmf . Además, si hacemos abierto el límite superior, entonces deberíamos considerar el evento de condicionamiento .$\{X<Y\}$

Alternativamente, también doy la bienvenida a otros RV que tienen este (s) soporte (s), siempre que se unan con su PMF .

Utilicé la distribución geométrica porque tiene disponibles dos variantes con una que no incluye cero en el soporte (de modo que se evita la división por cero). Obviamente, uno puede usar otros vehículos discretos, usando algún truncamiento.

Ciertamente pondré una recompensa por esta pregunta, pero el sistema no lo permite de inmediato.

Considere la distribución discreta con soporte en el conjunto { ( p $F$$\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$ con masas de probabilidad

Esto se resume fácilmente (todas las series involucradas son geométricas) para demostrar que realmente es una distribución (la probabilidad total es la unidad).

For any nonzero rational number $x$ let $a/b=x$ be its representation in lowest terms: that is, $b\gt 0$ and $\gcd(a,b)=1$.

$F$ induces a discrete distribution $G$ on $[0,1]\cap \mathbb{Q}$ via the rules

(and $G(0)=0$). Every rational number in $(0,1]$ has nonzero probability. (If you must include $0$ among the values with positive probability, just take some of the probability away from another number--like $1$--and assign it to $0$.)

To understand this construction, look at this depiction of $F$:

$F$ gives probability masses at all points $p,q$ with positive integral coordinates. Values of $F$ are represented by the colored areas of circular symbols. The lines have slopes $p/q$ for all possible combinations of coordinates $p$ and $q$ appearing in the plot. They are colored in the same way the circular symbols are: according to their slopes. Thus, slope (which clearly ranges from $0$ through $1$) and color correspond to the argument of $G$ and the values of $G$ are obtained by summing the areas of all circles lying on each line. For instance, $G(1)$ is obtained by summing the areas of all the (red) circles along the main diagonal of slope $1$, given by $F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$ = $3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$.

This figure shows an approximation to $G$ achieved by limiting $q\le 100$: it plots its values at $3044$ rational numbers ranging from $1/100$ through $1$. The largest probability masses are $\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$.

Here is the full CDF of $G$ (accurate to the resolution of the image). The six numbers just listed give the sizes of the visible jumps, but every part of the CDF consists of jumps, without exception:

I'll put my comments together and post them as an answer just for clarity. I expect you won't be very satisfied, however, as all I do is reduce your problem to another problem.

My notation:

$Q$ is a RV whose support is $\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ -- my $Q$ is not the same as the $Q$ the OP constructs from his $\frac{X}{Y}$. We'll define this $Q$ using $Y$ and $f$, which I introduce below.

$Y$ is any RV whose support is $\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$ -- the $Y$ given by the OP would work, for example.

$f$ is any one-to-one correspondence $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ and $f^{-1}$ is its inverse. We know these exist.

Now I claim I can reduce your problem to just finding an $f$ and its $f^{-1}$:

Just let $Q=f\left(Y\right)$ and you are done. The PMF of $Q$ is $\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$.

Edit:

Here is a function g that plays the role of $f$, despite not being a one-to-one correspondence (because of duplicates):

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}