"La transformada de Fourier no puede medir dos fases con la misma frecuencia". ¿Por qué no?

He leído que la transformada de Fourier no puede distinguir componentes con la misma frecuencia pero diferente fase. Por ejemplo, en Mathoverflow , o xrayphysics , donde obtuve el título de mi pregunta de: "La transformada de Fourier no puede medir dos fases con la misma frecuencia".

¿Por qué es esto matemáticamente cierto?

Esto se debe a que la presencia simultánea de dos señales sinusoidales con la misma frecuencia y diferentes fases es realmente equivalente a una sola sinusoidal a la misma frecuencia, pero con una nueva fase y amplitud de la siguiente manera:

Deje que los dos componentes sinusodiales se sumen así:

Luego, a partir de manipulaciones trigionométricas, se puede demostrar que:

donde y

por lo tanto, en realidad tiene una sola sinusoidal (con una nueva fase y amplitud) y, por lo tanto, nada que distinguir de hecho ...

Si sigue leyendo, hasta "La versión simplificada de la transformada de Fourier que discutimos anteriormente no puede explicar los cambios de fase: ¿cómo lo hace realmente la transformada de Fourier?" notarás una explicación un poco mejor, usan senos y cosenos.

" Matemáticas de los cambios de fase (opcional) .

Para ver cómo un cambio de fase se puede dividir en senos y cosenos no desplazados, necesitamos una identidad trigonométrica: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( si).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Como puede ver, el cambio de fase mueve parte de la amplitud (energía) de la señal senoidal a una señal cosenoidal, pero la frecuencia no cambia. Si usa la representación de números complejos de la transformada de Fourier, el desplazamiento de fase simplemente representa una rotación del valor en el plano complejo, con la magnitud sin cambios. El hecho de que los cambios de fase solo muevan la amplitud de seno a coseno significa que la adición de dos señales con la misma frecuencia y fase diferente da una señal con un cambio de fase general (promedio) a esa frecuencia, y sin memoria de los componentes ".

En la práctica es más complicado, vea " Técnicas parciales de Fourier ", " Simetría de conjugado de fase " y " FOV y espacio k ". En la " Introducción a la codificación de fase - I " explican:

"... cuando dos ondas sinusoidales (A y B) con la misma frecuencia pero diferentes fases se suman, el resultado es otra onda sinusoidal con la misma frecuencia pero una fase diferente. Cuando las ondas sinusoidales están muy juntas en fase, constructivamente interfieren, y cuando están fuera de fase interfieren destructivamente.

... Mirando solo su suma, simplemente ves una onda sinusoidal de cierta frecuencia y fase. Es imposible a partir de esta observación individual clasificar las contribuciones individuales hechas por las ondas A y B.

Sin embargo, al hacer dos observaciones con A y B desplazadas por diferentes fases, es posible determinar sus contribuciones individuales mirando solo sus sumas. Esto se ilustra a continuación en una imagen MR, donde A y B son dos píxeles en la misma columna vertical que resuenan a la misma frecuencia codificada (ω). Específicamente, en el Paso 0 (línea de base, cuando no se ha aplicado un gradiente de codificación de fase), la señal total de A&B juntos se puede escribir: Entonces (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

A partir de esta medición única en el Paso 1, todavía no conocemos las amplitudes individuales A y B, solo su diferencia (A − B). Usando la información del Paso 0 y el Paso 1 juntos, podemos extraer las contribuciones únicas de la señal mediante álgebra simple:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A    y    ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

De lo contrario, se vería así (imagen A):

PFI que muestra artefactos de varios algoritmos: (A) algoritmo básico, (B) algoritmo BAX, (C) algoritmo de relleno cero, (D) algoritmo básico que utiliza datos que tenían una corrección SDPS lineal constante constante, que ilustra artefactos de SDPS de orden superior.

$c\cos(\omega t+\phi)$$Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$$Re$$c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$$ae^{\omega t i}$$Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$$c e^{\phi i}$$c$$\phi$

Entonces, si bien ambas señales afectan la magnitud de la salida, una señal adicional no afectará en qué parte del espacio de fase se encuentra la salida.

Me gustaría tomar el camino de una versión geométrica de la pregunta, usando sumas de círculos.

Senos y cosenos son "sólo" las partes real e imaginaria de cisoids, o exponenciales complejas (algunas referencias se pueden encontrar en ¿Cómo explico una exponencial compleja intuitivamente? , Parcela de maniobra 3D para una señal analítica: Heyser sacacorchos / espiral , Transformada de Fourier Identidades ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$$\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\omega$

$a_1$$a_2$$e^{2 \pi i\phi_1}$$e^{2 \pi i\phi_2}$

$|a|<1$

y así como:

$(1+ae^{2\pi i\phi})$$\alpha e^{2\pi i\varphi}$$a$El círculo de radio es como una pequeña rueda giratoria unida a la válvula (como los círculos azul y rojo solo de la imagen de arriba). Y ahora, observamos el movimiento de un punto en el perímetro de la rueda pequeña.

$1$$a$$\alpha$$\ref{a}$$\ref{b}$

En otras palabras, ni una transformada de Fourier, ni un ojo humano, pueden distinguir componentes con la misma frecuencia pero fase diferente .

[[Agregaré animaciones si encuentro el tiempo]]