Diferentes representaciones de espacio de estado para Auto-Regresión y filtro de Kalman

Veo que hay diferentes maneras de escribir un modelo AR en una representación de espacio de estado, para que podamos aplicar el filtro de Kalman para estimar la señal. Vea los ejemplos 1, 2 y 3 aquí .

Me pregunto qué diferencias hay entre las diferentes representaciones del espacio de estado en la estimación por filtro de Kalman.

¡Gracias!

Desafortunadamente, no sé mucho sobre los filtros de Kalman, pero creo que puedo ayudarlo con el espacio espacial.

En el Ejemplo 1, el modelo AR es exactamente su buena definición recursiva DSP de salida:

$$y_t = \alpha + \phi_1y_{t-1} + \phi_2y_{t-2} + \eta_t$$

En este caso, escribimos el modelo de espacio de estado con correspondencia directa con la ecuación anterior:

$$\begin{pmatrix}y_t \\ y_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Tenga en cuenta que en este caso, los estados del sistema son valores actuales y anteriores de la salida.

En el segundo ejemplo, está separando sus estados de sus valores de salida. Esto significa que los estados ahora pueden ser cualquier cosa, a pesar de que todavía se asignan directamente a los valores de salida. De esta manera obtenemos$c$

$$y_t = \mu + c_t$$

$$c_t = \phi_1c_{t-1} + \phi_2c_{t-2} + \eta_t$$

Y por lo tanto

$$\begin{pmatrix}c_t \\ c_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{t-1} \\ c_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

También debe reconocer esto como la representación estándar de espacio de estado de un sistema lineal, porque sus ecuaciones para la evolución del estado y la salida dependiente del estado son dos ecuaciones diferentes . Esta separación es trivial en el caso de un modelo AR, pero esta última notación es cómo pensamos en todos los modelos lineales de espacio de estado en general.

El tercer ejemplo es curioso. Si multiplica todos los coeficientes, se dará cuenta de que en realidad es equivalente al primer y al segundo ejemplo. Entonces, ¿por qué hacerlo? Resulta que el ejemplo 2 (que es la representación adecuada del espacio de estado del sistema) se llama la forma canónica controlable de este sistema. Si lees un poco o simplemente analizas el sistema cuidadosamente, te darás cuenta de que podemos poner este sistema en cualquier estado que nos guste, proporcionando valores de buen comportamiento para y con la sola entrada . Por lo tanto, llamamos a estos sistemas controlables , y es muy fácil de ver desde esta forma de las ecuaciones de espacio de estado.$\phi_1$$\phi_2$$\alpha$

Debe notar que dos sistemas lineales pueden ser idénticos hasta un cambio de base. Esto significa que podemos elegir una base diferente para representar el mismo sistema lineal. Puedes convencerte de que eso es exactamente lo que hemos hecho para pasar del segundo al tercer ejemplo. Particularmente, nos gusta que esta transformación lineal transponga la matriz de transición de estado, para obtener algún estado desconocido$\boldsymbol{s}$

$$y_t = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha_t}$$

$$\boldsymbol{\alpha_t} = \begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{t-1} \\ s_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Ahora podemos usar el cambio de base para averiguar cuál debe ser este estado con respecto al estado . Y podemos calcular que sea$\boldsymbol{s}$$\boldsymbol{y}$

$$\begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_t \\ \phi_2 y_{t-1}\end{pmatrix}$$

Esta forma (transposición de la forma canónica de controlabilidad) se llama la forma canónica de observabilidad porque si podemos poner un sistema en esta forma, podemos deducir fácilmente qué estados del sistema se pueden observar simplemente mirando la salida. Para obtener una descripción de los formularios canónicos, puede leer este documento y, por supuesto, buscar en la web. Tenga en cuenta que en el documento los estados se invierten, lo que no cambia nada acerca de la representación del sistema, simplemente reordena las filas / columnas de las matrices.

En resumen, todo depende de lo que intente estimar, es decir, lo que sabe sobre la señal y lo que no. El filtro de Kalman intentará estimar el estado en función de su definición de cuál es ese estado. El problema convencional es cuando estamos tratando de estimar los coeficientes AR.

Tomemos un ejemplo de un modelo sin término constante .$AR(2)$$\mu$

$$y_k = a_1y_{k-1} + a_2y_{k-2} + \eta_k$$

Para estimar el sistema anterior, todo lo que necesita hacer es estimar los coeficientes AR, y .$a_1$$a_2$

Configuración general del espacio de estado del filtro de Kalman:

$${\bf x}_{k} = {\bf F}_{k-1}{\bf x}_{k-1} + {\bf w}_k$$ $${\bf y}_{k} = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + {\bf v}_k$$ ${\bf w}_k= WGN(0, Q^s)$ y${\bf v}_k= WGN(0, Q^o)$

En este caso, necesitamos estimar y . Por lo tanto, es natural establecer el estado como estos coeficientes. Para este ejemplo, estos coeficientes son constantes ( ) y tampoco hay ruido en estos coeficientes -> .$a_1$$a_2$${\bf x}_k = [a_1, a_2]^T$${\bf F}_{k} ={\bf F}_{k-1} = {\bf I}$${\bf w}_k = {\bf 0} \implies Q^s = {\bf 0}$

Como todo lo que observamos es , se convierten en las medidas de nuestro sistema. Como ya hemos definido cuál es el vector de estado, para que nuestras ecuaciones de medición sean iguales al modelo AR dado, reemplazamos nuestro ruido de medición con y .$y_k$${\bf v}_k$$\eta_k$${\bf H}_{k} = [y_{k-1}, y_{k-2}]$

$${\bf x}_{k} = {\bf x}_{k-1} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$ $$y_k = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + \eta_k = \begin{bmatrix} y_{k-1} & y_{k-2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \eta_k$$

Ahora, puede usar el filtro de Kalman para estimar su estado y, en consecuencia, su señal.

Nota: Lo único extraño aquí es su matriz depende de sus medidas . Algunas personas tienen la idea errónea de que las ganancias de Kalman y la matriz de covarianza estatal siempre son independientes de la medición y que pueden calcularse de antemano. Este caso muestra claramente que este no es el caso. Tanto la ganancia de Kalman como la matriz de covarianza de estado se estiman con funciones de , que en este caso depende de la medición.${\bf H}_k$$y_k$${\bf H}_k$