Sabemos que el Principio de incertidumbre de Heisenberg establece que
Pero (en muchos casos para Morlet wavelet) he visto que cambiaron la desigualdad a una igualdad. Ahora mi pregunta es cuándo podemos cambiar la desigualdad a una igualdad:
why =
fourier-transform
wavelet
resolution
Hombre eléctrico
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Respuestas:
Es importante definir los anchos de tiempo y frecuencia y Δ ω de una señal antes de discutir cualquier forma especial del principio de incertidumbre. No existe una definición única de estas cantidades. Con las definiciones apropiadas se puede demostrar que solo la señal gaussiana satisface el principio de incertidumbre con igualdad.Δt Δω
Considere una señal con transformada de Fourier F ( ω ) satisfactoriaf(t) F(ω)
Ninguna de estas condiciones es en realidad una restricción. Todos pueden satisfacerse (para señales con energía finita) mediante una escala, traducción y modulación apropiadas.
Si ahora definimos los anchos de tiempo y frecuencia de la siguiente manera
entonces el principio de incertidumbre establece que
donde la desigualdad se satisface con la igualdad para la señal gaussiana
Los números de ecuación anteriores corresponden a la prueba a continuación, que proviene de Wavelets y Subband Coding de Vetterli y Kovacevic (p.80):
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No puedo darle toda la teoría detrás de esto (ya que literalmente llena libros), pero resulta que Heisenberg se convierte en una igualdad exacta para precisamente esta familia de señales:
donde todos los parámetros son números reales. Esta familia es generada por simectomorfismos cuadráticos en frecuencia de tiempo de un solo átomo de Gabor. Estos symplectomorphisms preservan la relación de incertidumbre de Heisenberg.
Sin embargo, la noción de área de frecuencia de tiempo puede generalizarse para medir el área de formas que no están alineadas con el eje de tiempo y frecuencia. Eso significa que, en lugar del producto de incertidumbre entre F y T, medimos el producto de incertidumbre mínimo de cualquiera de las dos variables conjugadas abarcadas por F y T. Le ahorraré los detalles, pero para esta definición del área de frecuencia de tiempo, la familia de señales proporciona usted el mínimo
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El principio de incertidumbre establece un límite teórico para la resolución, por lo que nunca se escribe como una igualdad.
Las relaciones de igualdad con las que se encuentra son para un contexto de análisis específico y la implementación de análisis. En este caso, el contexto es el análisis de señales, por lo que el tiempo / frecuencia son las variables conjugadas de interés, y la implementación es la wavelet específica en uso.
La relación de igualdad proporciona una forma de comparar resoluciones en diferentes implementaciones de análisis. Se debe tener cuidado al interpretar estas relaciones porque la definición de resolución no debería, pero puede variar.
Una relación de igualdad es apropiada una vez que ha definido dos cosas: 1) el significado matemático de la resolución. 2) el método de análisis (en este caso, elección de wavelet).
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