Aplicación de condiciones de contorno de Dirichlet a la ecuación de Poisson con el método de volumen finito

Me gustaría saber cómo se aplican normalmente las condiciones de Dirichlet cuando se utiliza el método de volumen finito en una cuadrícula no uniforme centrada en celdas,

Mi implementación actual simplemente impone la condición de límite al fijar el valor de la primera celda,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

donde es la variable de solución y es el valor de la condición de límite de Dirichlet en las lhs del dominio ( NB ). Sin embargo, esto es incorrecto porque la condición límite debería fijar el valor de la cara de la celda, no el valor de la celda en sí. Lo que realmente debería aplicar es,g D ( x L ) x L ≡ x 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Por ejemplo, resolvamos la ecuación de Poisson,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

con condición inicial y condiciones límite,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(donde es una condición límite de Neumann en el lado derecho).$g_N(x_R)$

Observe cómo la solución numérica ha fijado el valor de la variable de celda al valor de la condición de contorno ( ) en el lado izquierdo. Esto tiene el efecto de desplazar toda la solución hacia arriba. El efecto puede minimizarse utilizando una gran cantidad de puntos de malla, pero esa no es una buena solución al problema.$g_D(x_L)=0$

Pregunta

¿De qué maneras se aplican las condiciones de contorno de Dirichlet cuando se usa el método de volumen finito? Supongo que necesito corregir el valor de interpolando o extrapolando usando (un punto fantasma) o modo que la línea recta que pasa por estos puntos tenga el valor deseado en . ¿Puede proporcionar alguna guía o un ejemplo de cómo hacer esto para una malla centrada en la celda no uniforme?ϕ 0 ϕ $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

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Actualizar

Aquí está mi intento de utilizar un enfoque de célula fantasma que sugirió, ¿parece razonable?

La ecuación para la celda es (donde F representa el flujo de ϕ ),$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Necesitamos escribir en términos de la condición límite usando una celda fantasma Ω 0 ,$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Pero finalmente necesitamos eliminar el término de la ecuación. Para hacer esto, escribimos una segunda ecuación que es la interpolación lineal desde el centro de la celda Ω 0 al centro de la celda Ω 1 . Convenientemente, esta línea pasa a través de x L , así es como las condiciones de Dirichlet entran en la discreción (porque el valor en este punto es solo g D ( x L ) ),$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

Combinando las ecuaciones 1 y 2 podemos eliminar y encontrar una expresión para F L en términos de ϕ 1 y g D ( x L ) ,$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

Suponiendo que somos libres de elegir el volumen de la celda fantasma, podemos configurar para dar,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Esto se puede simplificar aún más porque si las celdas y Ω 1 son del mismo volumen, entonces podemos configurar h - → h 1 finalmente dando,$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Sin embargo, este enfoque ha recuperado la definición que es inestable. así que no estoy muy seguro de cómo proceder. ¿Interpreté tu consejo incorrectamente (@Jan)? Lo extraño es que parece funcionar, ver más abajo,

Ver abajo, funciona,

En el análisis de estabilidad de las discretizaciones de FVM para problemas elípticos con Dirichlet BC, una suposición central es que las celdas internas , donde se establece el PDE, no tienen intersección con el límite, es decir, si se ve como un conjunto en R n - 1 si su dominio Ω ⊂ R n , véase, por ejemplo, el libro de [Grossmann & Roos, p. 92]

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

Por lo tanto, si en su configuración, el enfoque es inestable, estonoestáen contradicción con los resultados de estabilidad conocidos. EDITAR: Usando una celda fantasma e interpolación lineal en ella, para una elección particular de volumen y distancia, se obtiene ( ∗ ∗ ) como flujo. Por lo tanto, ( ∗ ∗

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$ es de hecho un esquema estable.

Grossmann & Roos ha demostrado la estabilidad y la convergencia (de primer orden en la norma máxima discreta) para el problema de Poisson para cuadrículas, con celdas de límite distintas con sus "centros" en el límite real como se ilustra en mi dibujo para un caso 1D.

Aquí, el cociente diferencial en la interfaz se aproxima de manera directa.

Yo diría que las células fantasmas son el enfoque común, por dos razones.

• Imitan la situación estable descrita en mi dibujo pero con una condición límite interpolada
• Simplemente están unidos al límite físico. Por lo tanto, se puede utilizar una triangulación del dominio, lo que también es ventajoso, ya que a menudo se tienen también BC naturales que se imponen directamente en la interfaz [ Grossmann & Roos , p. 101].

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Lo que está encontrando aquí es por qué los volúmenes finitos no se usan con frecuencia para las ecuaciones elípticas para las cuales se presentan condiciones de Dirichlet. Se usan para leyes de conservación donde las condiciones más naturales se expresan en términos de flujos.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$ De esta manera, la condición de contorno Dirichlet solamente se aplica "débilmente" (es decir a través de un flujo). Como ya comentó Wolfgang, esta es una de las razones por las cuales los métodos de volumen finito no se usan tanto para problemas elípticos como los métodos de elementos finitos.

Por supuesto, una cosa que también debe verificarse es la estabilidad de su discretización con la aproximación de segundo orden en el límite. Fuera de mi cabeza, no sé si será estable combinado con una aproximación centrada de segundo orden en el interior. Un análisis de estabilidad de la matriz le dirá con seguridad. (Estoy prácticamente seguro de que la aproximación de primer orden en el límite será estable).

Mencionas la posibilidad de usar puntos fantasma. Esto lleva al problema de que necesita extrapolar desde el interior al punto fantasma y usar el bc en el proceso. Sospecho, pero no lo "he probado", que al menos algunos tratamientos de puntos fantasma son equivalentes a usar el tipo de enfoque que he descrito anteriormente.

Espero que esto ayude un poco.