Estoy interesado en sugerencias para referencias de libros sobre el tema de PDE numérica y ODE, en particular, un análisis riguroso de tales métodos de una manera escrita para matemáticos profesionales. No tiene que ser extremadamente completo en el sentido de enumerar cientos o miles de métodos diferentes, pero me interesaría algo que al menos cubra la mayoría de los conceptos clave que guían las técnicas modernas.
Creo que sería apropiado hacer analogías con los libros de texto sobre álgebra lineal numérica, sobre los cuales estoy más familiarizado. Estoy buscando algo que sea errores de estabilidad y truncamiento en ecuaciones diferenciales numéricas, ya que la precisión y estabilidad de los algoritmos numéricos de Higham es errores de estabilidad y redondeo en álgebra lineal numérica, y algo que discute técnicas modernas en ODE y PDE de la forma en que Golub y Matrix Computations de Van Loan discute la mayoría de los principales tipos de técnicas para álgebra lineal.
De hecho, sé muy poco sobre ODE numérica y PDE. He estado leyendo una variedad de notas en línea, y tengo el libro Métodos de diferencia finita para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de Randall LeVeque, que es un libro claro pero no lo suficientemente profundo para mis propósitos. Como un ejemplo más concreto del nivel que estoy buscando, espero que cualquier sección sobre ecuaciones elípticas y parabólicas asuma que el lector está completamente familiarizado con la teoría de los espacios de Sobolev y sus incorporaciones, y soluciones débiles para PDE, y usa resultados a partir de esa teoría, con bastante libertad al derivar estimaciones de error para elementos finitos, etc.
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Respuestas:
No encontrará una referencia que cubra sistemáticamente el análisis de todos los métodos importantes para PDE. El campo de las técnicas de discretización para PDE es al menos un orden de magnitud mayor que cualquiera de los temas que mencionó anteriormente. Para cualquier método que implique soluciones implícitas, estudiar discretizaciones sin considerar también los métodos de solución (por ejemplo, métodos de cuadrículas asociadas) es una forma probada y verdadera de ubicarse en el rincón "irremediablemente impráctico".
Presumiblemente estás familiarizado con Brenner y Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods . Es un texto de nivel de posgrado, y aunque tiene su parte de materia introductoria, puede llegar rápidamente a los resultados importantes.
Para un análisis de error a posteriori en FEM, una buena fuente es el artículo de revisión, Ainsworth y Oden, Estimación de error a posteriori en análisis de elementos finitos , 1997 .
Para los métodos de volumen finito, puede que le guste el papel de Acta Numerica Morton and Sonar, Métodos de volumen finito para leyes de conservación hiperbólica , 2007 . Como dicen los documentos de Acta Numerica, esto no es muy citado. Sospecho que eso se debe en parte a que el libro de LeVeque es muy bueno y porque la mayoría de los practicantes que no lo han usado están familiarizados con muchas de las fuentes originales. Aunque no estoy familiarizado con él, también puede consultar Bouchut, Estabilidad no lineal de métodos de volumen finito para leyes de conservación hiperbólica .
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Secundo el punto de Jed sobre la importancia de considerar los solucionadores al mismo tiempo que las discretizaciones. Esto es algo que los matemáticos "más puros" a veces no pueden hacer, en detrimento de ellos, ya que están resolviendo el problema equivocado . Cosas como la estructura de bloques, el patrón de dispersión y la capacidad de construir preacondicionadores tienden a ser mucho más importantes que cosas simples como el número de grados de libertad / tamaño de malla.
Brezzi & Fortin - "Métodos de elementos finitos híbridos y mixtos" cubre material complementario de Brenner y Scott. Sin embargo, está agotado y la gente realmente se queda con sus copias, por lo que si no desea pagar varios cientos de dólares, probablemente tenga que pedirlo prestado a su biblioteca.
La serie de documentos de Rannacher et al a principios de la década de 2000, como "Un enfoque de control óptimo para una estimación de error posterior en métodos de elementos finitos" proporciona una comprensión más profunda y más aplicable de la estimación de error posterior que la que se explica en Ainsworth y Oden libro (en mi opinión).
Los espacios de Sobolev no son los espacios funcionales de todo para todos los PDE, aunque puede tener esa impresión al leer libros introductorios de posgrado como Evans. Los espacios Besov son más generales y bastante agradables, y lo obligan a pensar acerca de cómo y por qué ciertos espacios funcionales se construyen mediante el control de bloques de construcción básicos para proporcionar restricciones en la oscilación, la integrabilidad y la estructura multiescala. Un buen artículo "filosófico" sobre el tema de los espacios funcionales en general es la publicación de Terry Tao aquí . El libro de Triebel (principalmente sobre los espacios Besov), "Teoría de los espacios funcionales II" , ¡es genial! Existe una profunda conexión entre los espacios Besov y las wavelets, por lo que es útil el artículo muy legible de DeVore sobre wavelets.
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Además de las excelentes recomendaciones de Jed (personalmente puedo responder por Brenner + Scott como un gran libro de introducción de elementos finitos), un excelente libro para la solución numérica de EDO es Butcher:
http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC
Esa fue mi biblia por un buen tiempo, hasta que mi biblioteca de la universidad la retiró.
También puede encontrar que Ern + Guermond es un libro valioso, si ya se siente cómodo con las delicadas matemáticas
http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC
Después de leer algunos documentos de Ern + Guermond, puedo decir que definitivamente se inclinan hacia un gran formalismo. Los capítulos son un módulo más o menos autónomo, una notación que puede tener que cambiar para obtener la definición.
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Para PDE, un libro con un sabor analítico funcional similar al de Ern y Guermond es D. Braess, Finite Elements , Cambridge University Press, 2007 . Al ser un libro de texto en lugar de una monografía de investigación, es más accesible, aunque menos completo. Por otro lado, también discute aplicaciones (principalmente en elasticidad).
Con respecto a las EDO, creo que la Biblia sigue siendo el trabajo de tres volúmenes de Hairer y Wanner ( Resolviendo EDO I , Resolviendo EDO II e Integración Numérica Geométrica ).
Finalmente, no pase por alto las excelentes notas de clase disponibles en Internet.
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