Cuando usamos polinomios de Bernstein en la aplicación

Cuando es preferible utilizar polinomios de Bernstein para aproximar una función continua en lugar de utilizar los únicos métodos de análisis numérico preliminares siguientes: "Polinomios de Lagrange", "Operadores de diferencias finitas simples".

La pregunta es sobre la comparación de estos métodos.

Los polinomios de Bernstein y los polinomios de Lagrange abarcan los mismos espacios. Entonces, en términos de las posibles funciones que uno puede representar, usar una u otra no hace ninguna diferencia. Sin embargo, si está pensando en utilizarlas como funciones básicas en un método de elementos finitos o en un problema de interpolación, las propiedades espectrales del operador lineal que cree dependerán de los polinomios que elija como base. Esto puede causar diferencias en la convergencia de los solucionadores iterativos. Sin embargo, en ausencia de un error de álgebra lineal, obtendrá la misma respuesta utilizando cualquier base.

Comparar esto con operadores de diferencias finitas es una historia diferente. El uso de polinomios le dará aproximaciones de error en una norma continua. No estoy tan versado en diferencias finitas, pero entiendo que solo obtendrá una estimación de error en las ubicaciones que elija para discretizar. Lo que sucede entre estos puntos no está tan claro.

Utilizo los polinomios de Bernstein en un método de colocación para resolver problemas de valor límite para EDO y PDE. Son bastante interesantes

La convergencia fue exponencial para algunos BVP lineales, pero un poco más lenta en comparación con la colocación de Chebyshev, Legendre Galerkin y Tau.

Aquí está la figura que compara las tasas de convergencia con algunos métodos espectrales de Chebyshev. El problema de ejemplo es BVP lineal:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

$C=-4e/(1+e)^2$

También subí esta figura a figshare .

Si lo desea, puede consultar el código que estoy escribiendo:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

Y aquí está el artículo arxiv que escribí sobre la resolución de BVP elípticas en un cuadrado usando la colocación polinómica de Bernstein.

El año pasado celebraron un centenario de polinomios de Bernstein, un hecho más interesante.

El siguiente documento muestra que la representación de polinomios en forma de Bernstein conduce a algoritmos numéricamente estables en muchos casos:

RT Farouki, VT Rajan, sobre la condición numérica de los polinomios en forma de Bernstein, diseño geométrico asistido por computadora , volumen 4, número 3, noviembre de 1987, páginas 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Los puntos de control de una curva de Bézier están cerca de la curva, pero no necesariamente en la curva. Esta es exactamente la misma situación que para la aproximación de los polinomios de Bernstein, y de hecho los polinomios de Bernstein son la base de la curva de Bézier. Podría usar una curva de Bézier de alto orden para dibujar una línea suave a través de una curva dada por puntos ruidosos, y nadie haría esto debido al alto esfuerzo computacional. De hecho, la interpolación polinómica de alto orden rara vez se usa exactamente por esa razón, solo la interpolación de Chebyshev es ocasionalmente una excepción de esa regla.

Pero si solo estamos hablando de interpolación polinómica de bajo orden, entonces la especificación intuitiva de una curva de Bézier a través de puntos de control es una clara ventaja sobre otros métodos. Sin embargo, a este respecto, los NURBS son aún mejores, pero al menos una curva de Bézier es un caso especial de un NURBS, y los polinomios de Bernstein también son un ingrediente importante para los NURBS.