¿Cómo aplicar adecuadamente las condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas con FEM?

En general, las condiciones de contorno de Dirichlet no se cumplirán exactamente para FEM para condiciones de contorno no homogéneas. Los códigos FEM que he visto establecen los grados de libertad para interpolar la condición límite de Dirichlet, pero no he encontrado ninguna justificación matemática para esto. Me parece que establecer condiciones límite esenciales probablemente debería minimizar algunos errores funcionales (por ejemplo, minimizar sobre la parte del límite que se aplica el Dirichlet BC), aunque esto sería más costoso desde el punto de vista computacional.$||u -u_h||$

¿Existe alguna justificación para establecer el BC así y, de ser así, cuál sería la norma adecuada?

Existe una justificación matemática para establecer los grados de libertad de límite de Dirichlet en un valor. Sin embargo, debe ajustar su forma variacional en consecuencia. Si está buscando un problema general, diga:

Encuentra tal que$u\in\mathcal{U}$

$a(u,w)=l(w) \ \ \forall w\in\mathcal{V}$

dónde

$\mathcal{U}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=g\text{ on }\Gamma_D\}$

$\mathcal{V}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=0\text{ on }\Gamma_D\}$

En su lugar podemos escribir donde v ∈ V y g es la condición de Dirichlet. Entonces la forma variacional se convierte$u = v + g$$v\in\mathcal{V}$$g$

$a(v+g,w)=l(w)$

o usando la linealidad de $a(.,.)$

$a(v,w)=l(w)-a(g,w)$

En un código de elementos finitos, puede formar su matriz de rigidez de elementos como si no hubiera condiciones de contorno. Luego toma la columna de la matriz local que corresponde a la condición de límite de Dirichlet, la escala por el coeficiente que desea aplicar y la resta del lado derecho. Esta es la forma discreta de lo que escribí anteriormente, . Luego pone a cero esa columna y la fila de Dirichlet correspondiente, colocando un 1 en la diagonal y el coeficiente que desea aplicar. Esto desacopla la ecuación del sistema y, sin embargo, establece el valor que desea aplicar.$-a(g,w)$

Recomiendo el método de elementos finitos: análisis lineal de elementos finitos estáticos y dinámicos , por Tom Hughes. Tiene una discusión ampliada sobre este tema a partir de la página 8.

Para agregar a la gran respuesta de Nathan con el razonamiento variacional, a menudo se necesitan detalles algorítmicos al implementar elementos finitos. Por ejemplo,

También tengo una explicación más detallada sobre el tema en mis notas personales . Consulte el capítulo "Sistemas lineales restringidos".