Imponer las condiciones de compatibilidad para el método de elementos finitos mixtos en la ecuación de Stokes

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ Supongamos que tenemos la siguiente ecuación del modelo de flujo de Stokes:

$$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$$ donde la viscosidad $\nu(x)$ es una función, para el elemento finito mixto estándar, digamos que usamos el par estable: espacio Crouzeix-Raviart $\v{V}_h$ para la velocidad $\v{u}$ y el espacio constante en función del elemento $S_h$ para la presión $p$ , tenemos la siguiente forma variacional:

$$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$

y sabemos que dado que el multiplicador de Lagrange $p$ puede determinarse hasta una constante, la matriz finalmente ensamblada debe tener un espacio nulo $1$ , para evitar esto podríamos hacer que la presión $p$ sobre algún elemento determinado sea cero, de modo que no tengamos que resolver un sistema singular

Así que aquí está mi pregunta 1:

• (P1) ¿Hay otra manera que hacer cumplir $p=0$ en algún elemento para eliminar el núcleo para el elemento finito mixto estándar? o digamos, ¿algún solucionador que pueda resolver el sistema singular para obtener una solución compatible? (o algunas referencias son bienvenidas)

Y sobre la compatibilidad, para (1) debería ser y el pequeño truco es calcular ser la que obtuvimos de la solución de el sistema lineal se resta por su promedio ponderado: ˜ p p ˜ p = p -

$$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$$ $\tilde{p}$$p$ $$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$$

Sin embargo, recientemente acabo de implementar un elemento finito mixto estabilizado para la ecuación de Stokes por Bochev, Dohrmann y Gunzberger$P_1-P_0$˜ L ([u,p],[v,q])= L ([u,p],[v,q])- ∫ Ω (p- Π 1 p)(q- Π 1 q)= ∫ Ω f⋅v , en el que agregaron un término estabilizado a la formulación variacional (1):

$$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$ donde es la proyección desde el espacio constante por partes hasta el continuo por partes , y el núcleo constante del elemento finito mixto original desapareció, sin embargo, sucedieron cosas extrañas, (2) no ya no funciona, acuñé el problema de prueba de$\Pi_1$$P_0$$P_1$un problema de interfaz para la ecuación de difusión , esto es lo que obtuve para la presión , la derecha es la solución verdadera y la izquierda es la aproximación numérica:$p$

sin embargo, si es una constante, el problema de la prueba funciona bien: $\nu$

Supongo que se debe a la forma en que estoy imponiendo la condición de compatibilidad, ya que está vinculada con la estabilidad de inf-sup de todo el sistema, aquí está mi segunda pregunta:

• (P2): ¿hay alguna otra forma que no sea (2) para imponer la compatibilidad para la presión ? o al acuñar el problema de la prueba, ¿qué tipo de debo usar?$p$$p$

La condición de compatibilidad se refiere a la velocidad, no a la presión. Establece que si solo tiene condiciones de límite de Dirichlet para la velocidad, entonces estas deberían ser compatibles con la restricción libre de divergencia, es decir, con$\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$$\partial \Omega$ el límite de la dominio computacional (no la celda).

En este caso, no se puede distinguir de con una constante arbitraria porque no tiene una condición límite en para fijar la constante. Por lo tanto, hay infinitas soluciones para la presión y, para comparar soluciones, se necesita una convención. Los matemáticos prefieren elegir modo que (porque pueden integrarse) mientras que el físico prefiere (porque pueden medir en un punto). Si es su equivalente discreto de tiene un espacio nulo que consiste en el vector de identidad.$\nabla p$$\nabla (p + c)$$c$$p$$c$$\overline{p}=p_\mathrm{ref}$$p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$$Bp$$\nabla p$ , implica que$B$

Los métodos del subespacio de Krylov pueden resolver un sistema singular al eliminar el espacio nulo del subespacio de Krylov en el que buscan la solución. Sin embargo, eso no significa que obtendrá la solución que coincida con una convención dada, siempre tendrá que determinar la constante usted mismo en un paso posterior al procesamiento, ningún solucionador puede hacerlo por usted.$p$

Aquí hay algunas sugerencias para abordar su problema:

• La ecuación (2) parece extraña. Si es una función de ¿cómo puede estar fuera de la integral?$\nu$$x$
• ¿Su campo de velocidad satisface la restricción de compatibilidad?
• Trate de no hacer nada por la presión, solo deje que el solucionador tenga una , luego mire . ¿Es una constante?$p$$p-p_\mathrm{exact}$
• Si no, ¿estás seguro de que el espacio nulo de es de hecho el vector de identidad y nada más? ¿Tanto en papel como en el código? El problema parece lo suficientemente pequeño como para calcular realmente el espacio nulo.$B$

En cuanto a (Q1), puede elegir un solucionador de problemas de punto de silla que calcule una solución de mínimos cuadrados para su sistema. Entonces, se puede imponer una condición adicional al multiplicador, como establecer un grado específico de libertad, imponer un promedio específico.

En general, y creo que esto responde (Q1), puede usar una restricción lineal que pueda distinguir diferentes constantes.

Esta restricción puede imponerse en un paso posterior al procesamiento, o por una elección adecuada del espacio de prueba (por ejemplo, si deja de lado un grado de libertad).