Condición de CFL en esquemas discontinuos de Galerkin

He implementado un esquema ADER-Discontinuous Galerkin para la resolución de sistemas lineales de leyes de conservación del tipo de y observé que la condición de CFL es muy restrictiva. En la bibliografía, un límite superior para el paso de tiempo Δ t ≤ $\partial_t U + A \partial_x U + B \partial_y U=0$Se puede encontrar d ( 2 N + 1 ) λ m a x , dondehes el tamaño de la celda,des el número de dimensiones yNes el grado máximo de los polinomios.$\Delta t \leq \frac{h}{d(2N+1)\lambda_{max}}$$h$$d$$N$

¿Hay alguna forma de eludir este problema? Había estado trabajando con esquemas de volumen finito WENO-ADER y las restricciones de CFL eran mucho más relajadas. Por ejemplo, para un esquema de 5º orden, se debe imponer una CFL inferior a 0.04 cuando se usa DG, mientras que CFL = 0.4 aún se puede usar en un esquema WENO-ADER FV.

¿Por qué utilizar esquemas DG en lugar de ADER-FV, por ejemplo, en aeroacústica computacional (ecuaciones de Euler linealizadas) o aplicaciones similares (dinámica de gases, aguas poco profundas, magnetohidrodinámica)? ¿Es el costo computacional general del esquema similar al del ADER-FV, a pesar del paso de tiempo mucho más bajo?

Pensamientos y sugerencias para esto son bienvenidos.

El CFL restrictivo de los esquemas DG generalmente proviene de la combinación de precisión de alto orden y una plantilla compacta (ver esta referencia, por ejemplo). El CFL depende de delimitar la forma variacional en términos de la norma de la solución, que depende de derivadas y trazas de polinomios. Los límites para cada una de estas cantidades (usando las desigualdades de los hermanos Bernstein o Markov y las desigualdades de trazas discretas) dan constantes que dependen inversamente de h y cuadráticamente del orden N , lo que resulta en una CFL general de O ( h / N 2 ) .$L^2$$h$$N$$O(h/N^2)$

FYI: he visto la CFL que mencionas mencionada anteriormente, pero no recuerdo dónde está probada. Me gustaría saber cómo evitan la dependencia cuadrática de en su límite.$N$

Esquemas de diferencias y weno finitos (así como basados métodos de elementos finitos B-spline sobre mallas periódicas) tienen condiciones más flojo CFL porque las constantes en los límites análogos crecen más lentamente en . Esto se debe a que el tamaño de la plantilla tiende a aumentar con el orden N , lo que reduce algunos de estos problemas.$N$$N$

Los métodos DG son más caros, pero pueden manejar fácilmente mallas no estructuradas y pueden implementarse de manera eficiente. Existen versiones de alto orden de WENO (o reconstrucciones similares) para cuadrículas no estructuradas, aunque estas pueden introducir complicaciones matemáticas o de implementación adicionales.