¿Cuándo es útil un método de alto orden para las simulaciones computacionales de dinámica de fluidos?

Muchos enfoques numéricos para CFD pueden extenderse a un orden arbitrariamente alto (por ejemplo, métodos discontinuos de Galerkin, métodos WENO, diferenciación espectral, etc.). ¿Cómo debo elegir un orden de precisión apropiado para un problema dado?

En la práctica, la mayoría de las personas se atiene a órdenes relativamente bajas, generalmente de primer o segundo orden. Esta visión a menudo es cuestionada por investigadores más teóricos que creen en respuestas más precisas. La tasa de convergencia para problemas simples y suaves está bien documentada, por ejemplo, vea la comparación de Bill Mitchell sobre la adaptabilidad de HP .

Mientras que para los trabajos teóricos es agradable ver cuáles son las tasas de convergencia, para una aplicación más orientada entre nosotros, esta preocupación se equilibra con las leyes constitutivas, la precisión necesaria y la complejidad del código. No hace mucho ya que en muchos problemas de medios porosos que resuelven sobre medios altamente discontinuos tener métodos de alto orden, el error numérico dominará los errores de discretización. La misma preocupación se aplica a problemas que incluyen una gran cantidad de grados de libertad. Dado que los métodos implícitos de bajo orden tienen un ancho de banda más pequeño y, a menudo, un mejor condicionamiento, el método de alto orden se vuelve demasiado costoso de resolver. Finalmente, la complejidad del código de cambiar órdenes y tipos de polinomios suele ser demasiado para los estudiantes graduados que ejecutan los códigos de la aplicación.

Pautas: métodos de alto orden para problemas en los que se espera que la solución sea fluida y de otro modo métodos de bajo orden y / o métodos que pueden manejar discontinuidades en las soluciones. En los casos en que los métodos de alto orden pueden explotarse, puede haber un ahorro significativo en el esfuerzo computacional medido en términos de tiempo de CPU como resultado de la alta tasa de convergencia. Para los problemas elípticos que requieren la solución de sistemas lineales, los métodos de alto orden conducen a operadores menos dispersos y esto debe compensarse con una tasa de convergencia más rápida. Para problemas dependientes del tiempo, si los métodos de alto orden pueden explotarse, se puede lograr una velocidad de convergencia más rápida y se puede lograr una mayor precisión, y para largos tiempos de integración, los métodos de alto orden son superiores en términos de precisión y esfuerzo computacional debido a la baja dispersión numérica y los errores de disipación .

Se pueden usar métodos de orden superior, por ejemplo, para resolver la ecuación de nivel establecido cuando se usa para describir un flujo de fluido de dos fases dentro de un marco de Método de Volumen Finito. En este caso, los esquemas WENO y ENO se usan para advectar la función de ajuste de nivel y se usa un paso de reinicialización para mantenerla como una función de distancia desde la interfaz de fluido.

Mira esto: http://ftp.cc.ac.cn/lcfd/WENO_mem.html

Básicamente, se usan en simulaciones de CFD cuando se trata de discontinuidades en el flujo.

Implemente siempre al menos dos órdenes distintas. En un problema representativo, resuelva una vez usando cada orden. Compare los dos en una cuadrícula lo suficientemente fina como para converger en el orden inferior. Asegúrese de que sus dos respuestas estén razonablemente cercanas, lo que da alguna indicación de que el comportamiento numérico del esquema de orden inferior no ha dañado abrumadoramente la solución. Si es así, tira el esquema de orden inferior y comienza de nuevo.

Suponiendo que no tuvo que comenzar de nuevo, engrosar la cuadrícula para el orden superior tanto como sea posible mientras mantiene una solución razonablemente precisa medida por la cantidad específica de interés que desea. Compare el costo computacional para el orden inferior en la cuadrícula más fina con el del orden superior en la cuadrícula más gruesa.

Elija el que sea más ventajoso desde el punto de vista operativo. Documente el proceso para los detractores y para que pueda repetirlo cuando cambie el problema representativo o la cantidad de interés.