¿Cómo puedo derivar un límite en las oscilaciones espurias en la solución numérica de la ecuación de advección 1D?

Supongamos que tengo el siguiente problema periódico de advección 1D:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$en$\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
donde$g(x)$tiene una discontinuidad de salto en$x^*\in (0,1)$.

Tengo entendido que para esquemas de diferencias finitas lineales de orden superior al de primer orden, las oscilaciones espurias ocurren cerca de la discontinuidad a medida que se advecta con el tiempo, lo que resulta en una distorsión de la solución de su forma de onda esperada. Según la explicación de Wikipedia , parece que estas oscilaciones generalmente ocurren cuando una función discontinua se aproxima a una serie finita de Fourier.

Por alguna razón, parece que no puedo entender cómo se puede observar una serie finita de Fourier en la solución de este PDE. En particular, ¿cómo puedo estimar analíticamente un límite en el "over-shoot"?

El método de viento ascendente de primer orden es monótono; no introduce oscilaciones espurias. Pero es solo de primer orden exacto, lo que resulta en una difusión numérica tanto como para ser inutilizable para muchos propósitos. El teorema de Godunov afirma que las discretizaciones espaciales lineales de más alto que el primer orden no pueden ser monótonas. Para controlar rigurosamente las oscilaciones, utilizamos esquemas de disminución total de la variación (TVD) . Los métodos de TVD generalmente se limitan a la precisión de segundo orden. Para un orden superior, debemos relajar nuestra solicitud, lo que lleva a métodos limitados por la variación total (TVB), como (ponderado) esencial no oscilatorio ((W) ENO), o debemos relajar la definición de TVD para "máxima preservación de principios" o similar, donde los extremos iniciales están en términos de una solución reconstruida inicial, lo que resulta enesquemas limitantes especiales .

La discretización lineal por diferencias finitas de un problema 1D con límites periódicos conduce a una discretización de la forma

$$U^{n+1} = LU^n$$

donde es una matriz circulante . Los vectores propios de cualquier matriz circulante son modos discretos de Fourier v j = exp ( i j h ξ ) (aquí h es el espaciado de la cuadrícula y $L$

$$v_j = \exp(ijh\xi)$$ $h$$\xi$es el número de onda, que va desde cero hasta el número de onda más alto representable en la cuadrícula). Estos vectores propios forman una base para todas las funciones que se pueden representar en la cuadrícula. Si expresa la solución en términos de estos modos discretos de Fourier, entonces el método numérico se diagonaliza, es decir, cada componente de Fourier se multiplica por un factor escalar (generalmente complejo) en cada paso. El factor escalar a menudo se denomina factor de amplificación, y lo que acabo de describir se conoce como análisis de von Neumann . Es análogo al análisis de Fourier de PDEs lineales, en el que se utiliza una base de Fourier, para "diagonalizar" los operadores diferenciales lineales.

Puede encontrar buenas explicaciones, por ejemplo, en el texto de Strikwerda o LeVeque .

No todas las oscilaciones espurias son fenómenos de Gibbs. Se ven similares, pero hay oscilaciones de Gibbs para todas las aproximaciones finitas de Fourier de funciones discontinuas (se vuelven más pequeñas a medida que agrega más términos). Mientras que, existen representaciones no oscilatorias de funciones discontinuas que resultan de la solución de aproximaciones de diferencias finitas a PDE que no requieren series infinitas.

$\inf$$\sup$

En cuanto a su última pregunta sobre la conexión entre la serie de Fourier finita y la aproximación de elementos finitos: en general, si intenta proyectar una función con un salto en un espacio dimensional finito cuyas funciones básicas son continuas, se obtiene el fenómeno de Gibbs. Esto es cierto si la base es una serie de Fourier finita (donde las funciones básicas son los senos y cosenos) o si la base son las funciones habituales de sombrero de elementos finitos: es una propiedad de la proyección más la inadecuación de las funciones básicas.

Un enfoque es a través de la ecuación equivalente, es decir, la ecuación diferencial a la que su método discreto proporciona la aproximación más cercana. Esta nunca es la ecuación diferencial que pretendías resolver. Luego observa la solución asintótica de la ecuación equivalente, para una función escalonada como datos iniciales. Mire a Bouche, D., Bonnaud, G. y Ramos, D., 2003. Comparación de esquemas numéricos para resolver la ecuación de advección. Letras de matemática aplicada, 16 (2), pp.147-154.