¿Cuándo es ventajoso iterar integrales numéricamente?

Si hay una integral -dimensional de la forma ∫ [ 0 , 1 ] n + 1 f ( x , y $(n+1)$ normalmente uno evaluaría esto usando una biblioteca de integración multidimensional sobre todo el dominio, [ 0 , 1 ] n + 1 .

$$\int_{[0,1]^{n+1}} f(x, y)\,\mathrm{d}^n x \,\mathrm{d}y,$$ $[0,1]^{n+1}$

¿Pero hay algunas condiciones en las que podría tener sentido realizar la integral sobre separado, usando una cuadratura unidimensional y luego usar la biblioteca de integración multidimensional para evaluar el integrando sobre las otras n coordenadas? ∫ [ 0 , 1 ] n g ( x $y$$n$

$$\int_{[0,1]^n}g(x)\,\mathrm{d}^nx, \qquad g(x) = \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y.$$

Esto podría tener sentido, por ejemplo, si es especialmente suave en función de y , pero no x . Pero, ¿qué tan exactamente tiene que ser en este caso? Supuse que casi nunca tiene sentido porque demasiados puntos de evaluación de la cuadratura 1-d se "desperdiciarían", pero no estoy tan seguro de que esto siempre se aplique. ¿Está garantizado por el diseño de los métodos de integración de alta dimensión?$f$$y$$x$

$f$$y$$x$$n$$n\geq 4$$x$$y$quadgk$y$

Si sabe dónde ya se discute esto en la literatura, eso también sería útil.

$$\int_{[0,1]^n} e^{-x_1 x_2\cdots x_n}\,\mathrm{d}^n x = \mathrm{F}\left(\begin{array}{}\{1,\ldots,1\}_n\\\{2,\ldots,2\}_n\end{array}\middle| -1\right).$$ $n$$(n-1)$$x_1$$g(x_{2:n}) = -(e^{-a}-1)/a$$a=x_2\cdots x_n$

$(n=5)$$N$$0.00244N^{-1}$$0.00167N^{-1}$$4$$g$$1.5$

$1.5$$1.5$$g = (1-e^{-a})/a$$1.5$

$x$$y$

Aclaración: Mi respuesta está específicamente escrita para rutinas de integración adaptativa con control de error determinista como este . Se convierte en discutible para la escasa red y las rutinas de integración basadas en Monte Carlo, cuyo control de errores no se realiza de la manera descrita a continuación.

Un costo significativo de las rutinas automáticas de integración basadas en productos de caja negra y tensor es el control de errores, desde dos aspectos

1. Evaluaciones de funciones desperdiciadas. Toda la integración adaptativa funciona estimando el integrando y el error utilizando una regla de orden inferior o una partición más gruesa, y repitiendo esto con reglas de orden superior progresivamente o particiones más finas hasta que se cumplan los requisitos de error. Las reglas de integración anidadas permiten reciclar parte del trabajo realizado en los pasos anteriores, pero a menudo no todo.
2. En un esfuerzo por conservar las evaluaciones de funciones, a menudo se utilizan reglas altamente anidadas como Gauss-Kronrod o Newton-Cotes en los códigos de integración adaptativa. Las reglas de cuadratura anidadas son reglas de cuadratura subóptimas, ya que son considerablemente menos precisas que las reglas óptimas (por ejemplo, Gauss-Legendre y Clenshaw Curtis) para una clase particular de funciones en un orden de cuadratura fija. En otras palabras, las reglas anidadas hacen un uso menos eficiente de las evaluaciones de funciones.

$y$$y$$f(x,y)$$y$$r$

$$\left|\sum_{k=1}^r w_k f(x,y_k) - \int_{[0,1]}f(x,y)\,\mathrm{d}y\right| \le \epsilon\qquad \text{for all }x\in[0,1]^n,$$ $f(x,y)$$y$$x$$r$$x$$\epsilon$

$g(x)$$n$$g(x)$

$f(x,y)$

Para dar un ejemplo de aplicación, este problema exacto surgió para mí en la evaluación de integrales singulares de volumen a volumen en este documento , y mi tratamiento es similar al propuesto anteriormente. Como regla general, siempre es recomendable eliminar tantas dimensiones como sea posible utilizando argumentos analíticos antes de alimentar el problema a través de una rutina de integración de recuadro negro.