¿Cuál es el propósito de la función de prueba en Análisis de elementos finitos?

En la ecuación de onda:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

¿Por qué multiplicamos primero por una función de prueba antes de integrar? $v(x,t)$

finite-element Andy
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Respuesta corta: porque el método de elementos finitos es una discretización de la formulación débil, no la formulación fuerte (que usted ha dado). Respuesta media: porque no puede estar seguro de encontrar una función de dimensión finita tal que se satisfaga la ecuación; en el mejor de los casos, puede esperar que el residuo sea ortogonal al espacio de solución de dimensiones finitas, o equivalente, ortogonal a cualquier elemento de ese espacio (que es precisamente una función de prueba). La integración por partes no es tan importante, y en su caso por razones de simetría. La respuesta larga es demasiado larga para un comentario :)

Christian Clason

Otra explicación breve: si solo se integra y establece en cero, está pidiendo que desaparezca la media, para nada lo que está buscando, porque entonces el residual podría ser muy grande en una parte del dominio, siempre que Es grande con signo opuesto en otro. Las funciones de prueba en esencia "localizan" el residuo a cada elemento.

Christian Clason

Para una explicación alternativa, vea esta respuesta: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

Paul

Respuestas:

Estás llegando al revés. La justificación se ve mejor comenzando desde la configuración variacional y trabajando hacia la forma fuerte. Una vez que haya hecho esto, el concepto de multiplicar por una función de prueba e integrar puede aplicarse a problemas en los que no comienza con un problema de minimización.

Considere el problema donde queremos minimizar (y trabajando formalmente y no rigurosamente aquí):

yo (tu) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla tu (X))^{2} re X

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

sujeto a algunas condiciones de contorno en . Si queremos que este alcance un mínimo, debemos diferenciarlo con respecto a , que es una función. Hay varias formas bien consideradas de considerar este tipo de derivado, pero una forma de introducirlo es calcular $\partial\Omega$ $I$ $u$

{yo}^{'} (tu (X), v (X)) = lim_{h \to 0 0} \frac{re}{re h} yo (tu (X) + h v (X))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

donde es solo un escalar. Puede ver que esto es similar a la definición tradicional de una derivada para funciones escalares de una variable escalar, pero extendida a funciones como que devuelven los escalares pero tienen su dominio sobre las funciones. $h$ $I$

Si calculamos esto para nuestro (principalmente usando la regla de la cadena), obtenemos $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Al establecer esto en cero para encontrar el mínimo, obtenemos una ecuación que se parece a la declaración débil de la ecuación de Laplace:

\int_{Ω} \nabla tu \cdot \nabla v re X = 0 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Ahora, si usamos la Divergence Theorm (también conocida como integración multidimensional por partes), podemos quitar una derivada de y ponerla en para obtener $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla tu) v re X + términos límite = 0 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Ahora, esto realmente parece donde comienzas cuando quieres construir una declaración débil a partir de una ecuación diferencial parcial. Dada esta idea ahora, puede usarla para cualquier PDE, simplemente multiplique por una función de prueba, integre, aplique el Teorema de divergencia y luego discretice.

Bill Barth
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Preferiría explicarlo en términos de minimizar el residuo ponderado.

nicoguaro

@nicoguaro, OK, entonces puedes escribir esa respuesta, y veremos cuál tiene más sentido para OP. :)

Bill Barth

+1 por señalar que la forma débil es en realidad (o al menos a menudo) más natural que la forma fuerte.

Christian Clason

Interesante. Es una especie de tangente, pero con respecto a "Hay varias formas bien conocidas de considerar este tipo de derivado" : el único método que he aprendido es el que usted ha mencionado. ¿Qué otros tipos hay?

user541686

h

$h$

Como mencioné antes, prefiero pensar en la forma débil como un residuo ponderado.

$\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

$R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

$w$ $\hat{u}$

Si selecciona el primer caso, terminará con una ecuación como la descrita por @BillBarth.

nicoguaro
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