¿Se puede usar un esquema numérico para determinar la buena posición de un problema de valor inicial o límite?

Sé que podemos usar técnicas de análisis matemático para probar si un IVP o BVP tiene una solución, es única y depende continuamente de los valores límite / iniciales. Para algunos PDE, especialmente los pde no lineales, es muy difícil, si no imposible, demostrar una buena postura. ¿Existe algún tipo de técnica numérica para verificar si un problema está bien planteado o no?

En general, no. Una solución numérica a veces se puede usar como una medida aproximada para indicar si las condiciones de contorno son suficientes, para identificar dominios "flotantes", por ejemplo, pero hay muchos casos en los que las soluciones discretas le brindan información francamente engañosa sobre el problema continuo.

1. La difusión por advección requiere una condición de límite en todos los límites, pero los sistemas discretos no pueden usar ninguna condición de límite en el flujo de salida (no es una condición de Neumann homogénea, realmente no quiero decir ninguna condición de límite). No solo eso, es más preciso que la representación discreta de la condición de contorno continuo. Ver Papanastasiou, Malamataris y Ellwood 1992 y Griffiths 1997 para más detalles. Una condición límite similar también es importante para el deslizamiento en superficies curvas, ver Behr 2004 .

2. El "fenómeno del carbunco" afecta ciertos métodos para el flujo compresible. No se entiende muy bien, pero los esquemas numéricos aparentemente robustos pueden converger en soluciones espurias. Un ejemplo de Robinet et al. 2000

3. Soluciones espurias para Navier-Stokes incompresible, dentro de un régimen laminar. En Schreiber y Keller 1983 se da un ejemplo simple de cavidad accionada por la tapa .

4. Sistemas de leyes de conservación hiperbólica con tamaño relativo no físico de disipación numérica. Siempre se requiere cierta disipación numérica, pero por lo demás los métodos robustos (por ejemplo, Godunov) pueden converger sistemáticamente a resultados incorrectos si la disipación numérica termina siendo no física. Un ejemplo simple se da en Mishra y Spinolo 2011donde el método estándar de Godunov converge en un resultado incorrecto para aguas poco profundas linealizadas 1D. Esto se presenta en una forma más profunda en una gran simulación de Eddy. La viscosidad de Foucault es una manifestación física de escalas de subgrid, pero si la disipación numérica (inevitable) es mayor que la disipación física, la simulación puede converger a resultados sistemáticamente incorrectos. En la práctica, los cierres de subgrid para la viscosidad de Foucault son muy importantes. Se trata de tomar un límite singular a lo largo del camino correcto (físico).

5. Efectos de bloqueo en modos de elasticidad o tablero de ajedrez en flujo incompresible. Esto se debe a la elección de un espacio de aproximación inestable y ahora se entiende muy bien, al menos para problemas lineales, pero confiar en una solución numérica para deducir la buena postura podría llevarlo a la conclusión de que el límite incompresible estaba mal planteado.