Sobre la integridad de la tabla periódica de elementos finitos

En un artículo reciente de SIAM News , hay un artículo largo que describe una organización sistemática de los elementos finitos, acertadamente denominada Tabla periódica de elementos finitos . Es realmente fascinante ver cómo se puede lograr la clasificación a través del cálculo exterior de elementos finitos. Como indican los autores:

Así como la disposición de los elementos químicos en una tabla periódica condujo al descubrimiento de nuevos elementos, la tabla periódica de elementos finitos no solo ha aclarado los elementos existentes, sino que también ha resaltado agujeros en nuestro conocimiento y ha dado lugar a nuevas familias de elementos finitos adecuados para ciertos propósitos

La analogía me fascina y me hace preguntarme si es posible llenar todos los "agujeros" posibles de la misma manera que se han encontrado elementos materiales faltantes. Tal vez esto puede estar estirando la analogía demasiado, pero tengo curiosidad por saber si todos los posibles "vacíos" en elementos finitos han sido completamente explorados y desarrollados de acuerdo con este enfoque de clasificación de cálculo exterior de elementos finitos. Si no, ¿cuáles son los "métodos faltantes" más importantes que la investigación se centra actualmente en desarrollar y por qué? Además, ¿hay algún método de elementos finitos que no pueda clasificarse mediante este enfoque (aparte de la omisión obvia de simplificadores de formas arbitrarias ...)?

Descargo de responsabilidad: en realidad no trabajo en este campo (solo me parece interesante), por lo que podría estar malinterpretando algunas de las ideas. Disculpas si esto sucede, y corrígeme si ves un error.

Una nota al margen: los elementos finitos no son equivalentes a los métodos de elementos finitos. Estos son elementos definidos por Ciarlet: espacios de aproximación dimensional finita con grados de libertad definidos como funcionales lineales para el espacio. Los métodos de elementos finitos pueden ser un conjunto mucho más amplio de discretizaciones (por ejemplo, estabilizaciones de la forma débil, trucos discretos, etc.).

Doug Arnold tiene una buena muestra del trabajo actual en la línea de la tabla SIAM. Una buena parte fue la extensión de esta idea al grupo de elementos finitos de serendipia, que le permitió generar una nueva familia de elementos finitos de serendipia en 3D. Annalisa Buffa también ha ajustado las discretizaciones B-spline en este marco de formas diferenciales.

Muchas de las ideas anteriores implican una reproducción de dimensiones finitas de un complejo de De Rham para formar "discretizaciones compatibles" (la estabilidad de elementos finitos mixtos está vinculada a la idea general de compatibilidad en discretizaciones). La compatibilidad también está presente en Maxwells y problemas curl-curl , donde esto proporciona estabilidad al método y una reproducción precisa del espectro del operador. Fuera de FEM, los métodos de diferencia finita mimética también parecen estar relacionados con estos conceptos (aunque están estrechamente relacionados con los métodos mixtos de FEM, así que no estoy seguro de cuán especial es).

Más recientemente, a Arnold se le ocurrieron elementos finitos para la elasticidad basados ​​en un complejo de "elasticidad" separado, y John Evans reprodujo esta idea para Stokes, definiendo una base para problemas de flujo incompresibles basados ​​en un "complejo de Stokes" . Si el problema completo, incluida la condición libre de divergencia, se discretiza, se puede demostrar que la discretización resultante es puntual (no débil) libre de divergencia. Gerritsma e Hiemstra argumentan que puede usar las mismas ideas geométricas para construir discretizaciones de alto orden que satisfagan propiedades de conservación exactas para una variedad de leyes de conservación.

TL; DR - para la tabla periódica de FEM: ¿elementos exóticos y no tradicionales? Para la idea de agrupar FEM en familias: discretizaciones compatibles y modelado geométrico de la física?