Integración radial de funciones costosas con pesas Bessel

Necesito calcular la integral

$$I = \int_0^R f(r)J_n\left(\frac{z_{nm}r}{R}\right)rdr$$

donde es el n t h para funciones de Bessel del primer tipo, z n m es su m t h cero y f ( r ) es una función real que es algo similar a J n (pero no el mismo, es bastante complicado y generalmente implica términos con J 2 n y, a veces, exp ( J n ) ).$J_n$$n^{\mathrm{th}}$$z_{nm}$$m^{\mathrm{th}}$$f(r)$$J_n$$J_n^2$$\exp(J_n)$

Como es extremadamente costoso y esta integral debe evaluarse muchas veces, estoy buscando el mejor método numérico (muy rápido, pero aún razonablemente preciso) para resolverlo. Actualmente, estoy usando la regla trapezoidal con 11 puntos. Pero estoy investigando otros métodos, como Clenshaw – Curtis y Gauss – Kronrod (con bajo orden).$f(r)$

Pero me pregunto si existe un método particularmente adecuado para tales integrales, especialmente dado que es similar a los necesarios para calcular las transformaciones de Hankel.

Para la transformación de Hankel, uno puede clasificar los métodos en cuatro grupos principales:

1. Basado en cuadratura numérica.
2. Los basados ​​en Fourier.
3. Expansión asintótica de Bessel en senos y cosenos.
4. Métodos de corte de proyección.

El siguiente documento ofrece una buena descripción de estos métodos (tipos de métodos):

• MJ Cree y PJ Bones, "Algoritmos para evaluar numéricamente la transformada de Hankel", Comp. Matemáticas. Appl. vol. 26, no. 1, págs. 1-12, julio de 1993 .

De acuerdo con este documento (p. 3, Sec. 4):

La principal desventaja de la regla trapezoidal es su pobre eficiencia computacional. ... se descubrió que el método trapezoidal es casi siempre tan confiable como cualquier otro método probado. ... lo encontramos útil como punto de referencia para probar algoritmos más eficientes.

Entonces, dos direcciones son posibles:

1. Encuentra una regla de cuadratura numérica más eficiente.
2. Siga junto con la dirección de transformación de Hankel.

$n$$f(r)$$f(r)$$f(r)$

$f(r)$

• R. Barakat y E. Parshall, "Evaluación numérica de la transformada de Hankel de orden cero utilizando la filosofía de la cuadratura de Filon", Appl. Matemáticas. Letón. vol. 9, no. 5, págs. 21–26, septiembre de 1996.

Para la dirección 2, recomendaría intentar desarrollar alguna forma de métodos de corte de proyección . Personalmente no conozco un método listo de este tipo desarrollado para su integral.

Las siguientes referencias pueden ser útiles (también para la cuadratura de Filon):

• $0$

$f(r)$

• L. Knockaert, "Transformación rápida de Hankel mediante transformaciones rápidas de seno y coseno: la conexión Mellin", IEEE Trans. Procesamiento de señal , vol. 48, no. 6, págs. 1695–1701, junio de 2000.