El efecto de desacoplar un sistema acoplado de PDE

Hice una pregunta algo similar anteriormente, pero tal vez podría haber sido demasiado específica para que alguien realmente respondiera. Aquí hay un poco más general de una pregunta con la que estoy luchando. Considere el siguiente sistema:

∂ u

$$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2})\nabla u_{1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2})$$ $$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2})\nabla u_{2}) = 0$$

suponiendo un conjunto general de BC: D i ∇ u i ⋅ n = u i , N

$$u_{i} = u_{i,D}, \;\;\;\text{on}\;\Gamma_{D}$$ $$D_{i}\nabla u_{i}\cdot\mathbf{n} = u_{i,N}, \;\;\;\text{on} \;\Gamma_{N}$$

Usando DGFEM para discretizaciones espaciales y Euler hacia atrás para la derivada del tiempo. Nos desacoplamos así:

1. Resolver para usando u k 2 : - ∇ ⋅ ( D 1 ( u k 2 ) ∇ u k + 1 1 ) = ∇ ⋅ f 1 ( u k 2$u_{1}^{k+1}$$u_{2}^{k}$

   $$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2}^{k})\nabla u_{1}^{k+1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2}^{k})$$

2. Resolver para usando u k + 1 1 : ∂ u $u_{2}^{k+1}$$u_{1}^{k+1}$

   $$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2}^{k+1})\nabla u_{2}^{k+1}) = 0$$

El método de Newton se usa para manejar la no linealidad.

$$\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) = u_{2}(-\nabla u_{1} + u_{2}\nabla u_{2})$$

entonces

$$\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k})$$

$\mathbf{f}_{2}$$u_{1}^{k+1}$$u_{2}^{k}$$u_{2}^{k+1}$$\mathbf{f}_{2}$$u_{2}^{k}$$-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k}$

$\mathbf{f}_{2} = \mathbf{f}_{2}(u_{1,\text{exact}}^{k+1}, u_{2}^{k+1}, u_{2,\text{exact}}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1,\text{exact}}^{k+1} + u_{2,\text{exact}}^{k+1}\nabla u_{2,\text{exact}}^{k+1})$

¿Es este rendimiento subóptimo en el primer escenario esperado dado el desacoplamiento? Sé que el desacoplamiento limitará el paso de tiempo, pero estoy bastante seguro de que estoy tomando el paso de tiempo lo suficientemente pequeño.

$\mathbf{f}_{2}$$u_{2}\nabla u_{2}$$u_{1}^{k+1}$

No había podido encontrar mucha literatura sobre el efecto que tendría el desacoplamiento en la convergencia, por lo que si alguien pudiera orientarme en la dirección correcta u ofrecer algún consejo, sería genial.

Esto es definitivamente lo que se conoce como un esquema de división y es muy popular en la óptica no lineal, así como en las simulaciones cuánticas, un ejemplo es la ecuación de dirac, pero también puede hacerlo en PDES no lineales '.

$u_1^{k+1}$$u_2^k$$u_1^{k+1}$$u_2^{k+1}$

$u_1$$u_2$$u_1$$u_2$$Lu_1$$f=\nabla \cdot f_2(u_2)$$G(x;u_2)$$LG=\delta(x-s)$$u_1$

$u_1=\int_{\Omega} G((x-s);u_2)fds$

$u_2^{k+1}$$u_1^{k+1}$$u_2^{k+1}$

Sin embargo, definitivamente hay flexibilidad en este desacoplamiento o división que podría ser un buen esquema en sus ecuaciones. Se puede encontrar una buena introducción a la división en el contexto que le interesa en el Capítulo 13 'División y sus primos' de Boyd 'Chebyshev y métodos espectrales de Fourier'.

Espero que esto ayude

Es un poco difícil de decir sin saber con precisión qué PDE estás resolviendo; Dicho esto, algunos lugares para mirar son

1. Para los sistemas lineales acoplados , los métodos Uzawa y lagrangianos aumentados son ejemplos de esquemas generales de división. Existen resultados conocidos sobre la convergencia de estos métodos basados ​​en los espectros de los bloques y el complemento de Schur del sistema de bloques acoplados (ver Bramble et al, sobre la resolución de problemas de punto de silla de montar).
2. Existe una gran cantidad de material sobre diferentes métodos de división para PDE. Aunque están formulados en gran medida para problemas lineales, existe un amplio uso y teoría para su extensión a ecuaciones no lineales, por ejemplo, al menos para las PDE no lineales que rigen los tipos de convección-difusión y flujo incompresible, los esquemas de división / proyección tienen una historia bastante rica .

$u_1$$u_2$$u_1$$u_2$