¿Métodos numéricos para invertir transformadas integrales?

Estoy tratando de invertir numéricamente la siguiente transformación integral:

$$F(y) = \int_{0}^{\infty} y\exp{\left[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\right]} I_0\left(xy\right)f(x)\;\mathrm{d}x$$

Entonces, para una dada , necesito aproximar f ( x ) donde:$F(y)$$f(x)$

• y F ( y ) son reales y positivas$f(x)$$F(y)$(son distribuciones de probabilidad continuas)
• son reales y positivos$x,y$(son magnitudes)

Tengo un método de fuerza bruta muy desordenado para hacer esto en este momento:

Defino y la spline sobre una serie de puntos, los valores de los puntos spiled se 'adivinan' por muestreo aleatorio, lo que produce un F ( y ) predicho . Un algoritmo genético básico que escribí minimiza la diferencia entre la matriz F ( y ) predicha y medida . Luego tomo la f ( x ) a la que converge el algoritmo como mi respuesta para la inversión.$f(x)$$F(y)$$F(y)$$f(x)$

Este enfoque funciona bastante bien para algunos casos simples, pero me parece desordenado y no particularmente robusto.

¿Alguien puede darme orientación sobre mejores formas de resolver este problema?

¡Gracias por su tiempo y ayuda!

[publicado en x en computercience]

Un método bastante simple sería elegir una base en el espacio de funciones y convertir la transformación integral en una matriz. Entonces puedes simplemente invertir la matriz.

Matemáticamente, así es como funciona: necesita un conjunto de funciones de base ortonormal . (Usted puede salirse sin que éstos se normalizaron también, pero es más fácil de explicar de esta manera.) Medios Ortonormales que el producto interno ⟨ T i , T j ⟩ = δ i j , donde$T_i(x)$$\langle T_i,T_j\rangle = \delta_{ij}$

$$\langle T_i,T_j\rangle \equiv \int_a^b W(x) T_i(x)T_j(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{ij}\tag{1}$$

Aquí es alguna función de peso. Eso y los límites a y b están ligados a su elección de T i . Una vez que elija qué conjunto de funciones básicas usar, puede codificar los límites y la función de peso en su programa.$W(x)$$a$$b$$T_i$

Usando la ortonormalidad, puede expresar cualquier función, como y F ( y ) , como combinaciones lineales de estas funciones básicas:$f(x)$$F(y)$

$$\begin{align} f(x) &= \sum_{i} c_i T_i(x) & F(y) &= \sum_{j} C_j T_j(y) \tag{2} \end{align}$$

donde los coeficientes se calculan como

$$\begin{align} c_i &= \langle f,T_i\rangle = \int_a^b W(x) f(x)T_i(x)\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ C_j &= \langle F,T_j\rangle = \int_a^b W(y) F(y)T_j(y)\,\mathrm{d}y \tag{4} \end{align}$$

Puede verificar que estas expresiones sean consistentes con las definiciones de los coeficientes, ec. (2), y la ortonormalidad, ec. (1)

Ahora, calcule la transformación de cada una de las funciones básicas; Digamos que es .$\tilde{T}_i(y)$

$$\tilde{T}_i(y) \equiv \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x$$

es una función, y por lo que se puede expresar como una combinación lineal de las funciones de base tal como lo hicimos conf(x)yF(y):$\tilde{T}_i(y)$$f(x)$$F(y)$

$$\tilde{T}_i(y) = \sum_k A_{ik}T_k(y)$$

donde los elementos de la matriz se determinan de la misma manera que encontramos c i y C j arriba:$A_{ik}$$c_i$$C_j$

$$A_{ik} = \langle \tilde{T}_i, T_k\rangle = \int_a^b W(y) \tilde{T}_i(y)T_k(y)\,\mathrm{d}y\tag{5}$$

$i$$k$$T_i(x)$$W(x)$

$A_{ik}$$c_i$$C_j$$f(x)$$F(y)$

$$\begin{align} \overbrace{\sum_{j} C_j T_j(y)}^{F(y)} &= \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)\overbrace{\sum_{i} c_i T_i(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k(y) \end{align}$$

$C_{\ell}$$T_{\ell}$

$$\begin{align} \left\langle \biggl(\sum_{j} C_j T_j\biggr), T_\ell\right\rangle &= \left\langle \biggl(\sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k\biggr), T_\ell\right\rangle \\ \int_a^b W(y) \sum_{j} C_j T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \int_a^b W(y) \sum_{i} c_i \sum_{j} A_{ik}T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \int_a^b W(y) T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\int_a^b W(y) T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \delta_{j\ell} &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\delta_{k\ell} \\ C_\ell &= \sum_{i} c_i A_{i\ell} \end{align}$$

$\ell$$C_j$

$C_j$$c_i$$A_{ij}$$c_i$$A_{ij}$$C_j$$F(y)$

$F(y)$$C_j$

$$C_j = \sum_{i} c_i A_{ij}$$

$A$

$i$$j$$1$$N$$N$$f(x)$$T_1(x),\ldots,T_N(x)$$1$$M$$F(y)$$T_1(y),\ldots,T_M(y)$$M = N$$M$$N$$N$$c_i$$A$$M\times N$$A_{11}$$A_{NM}$

$[-1,1]$$T_i$$W(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$a = -1$$b = 1$$\langle T_i, T_j\rangle = \delta_{ij}\pi/2$$i = j\neq 0$$\langle T_0, T_0\rangle = \pi$